Évènements

De nombreuses structures combinatoires admettent, au sens large, une notion d’irréductibilité : les graphes peuvent être connexes, les permutations indécomposables, les polynômes irréductibles, etc. Nous nous intéressons à la probabilité qu’un tel objet pris au hasard soit irréductible, lorsque sa taille tend vers l’infini. Dans cet exposé, nous discutons de quelques méthodes qui nous permettent d’obtenir les asymptotiques pour cette probabilité de manière commune. Nous montrons que les coefficients apparaissant dans ces asymptotiques sont entiers et qu’ils peuvent être interprétés comme des suites de comptage d’autres classes combinatoires “ dérivées ”. De plus, nous obtenons certaines probabilités asymptotiques qu’un objet combinatoire aléatoire ait un nombre donné de composantes irréductibles. Nous appliquons notre approche aux graphes connexes, aux graphes orientés fortement connexes, aux tournois irréductibles, aux surfaces à petits carreaux, aux permutations indécomposables, aux couplages parfaits indécomposables, aux cartes combinatoires, etc. Enfin, à l’aide de la théorie des espèces, nous traitons également le modèle G(n,p) de Erdős–Rényi.

Cet exposé est basé sur les travaux en commun avec Thierry Monteil et Sergey Dovgal.

Dans cet exposé, je présenterai quelques travaux en cours avec Nicolas Fournier. Nous nous intéressons à des modèles simples décrivant le mouvement d’une particule dans un gaz. Une particule est alors représentée par un processus aléatoire décrivant sa position et sa vitesse et nous étudions le processus de position lorsque le taux de collision tend vers 0. Nous nous placerons dans le cas où l’équilibre (en vitesse) est à queue lourdes, et ne possède pas de moment d’ordre 2. Lorsque le processus de position n’est pas restreint à un domaine, et vit dans tout l’espace, il est assez clair que ce dernier converge en loi vers un processus $\alpha$-stable, lorsque le taux de collision tend vers 0. Nous étudions alors le cas où la particule est réfléchie dans un domaine convexe de la manière suivante : lorsqu’elle touche le bord du domaine, elle est “redémarrée” avec une vitesse dirigée vers l’intérieur du domaine, et distribuée selon une mesure de probabilité donnée. Nous montrons que la position de la particule converge en loi vers un processus $\alpha$-stable réfléchi dans le domaine. Après avoir introduit le modèle, j’expliquerai comment nous construisons le processus limite en “recollant” ses excursions, et je donnerai quelques éléments de preuve concernant la convergence en loi.

We consider some questions of arithmetic statistics for matrices of a given rank or fixed determinant or characteristic polynomial, whose entries are parametrised by arbitrary polynomials over the integers. In particular, some of our results improve a recent bound of V. Blomer and J. Li (2022) for counting matrices of given rank that are parametrised by monomials.

Joint works with Philipp Habegger, Ali Mohammadi and Igor Shparlinski.