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En 1913, De Franchis a démontré que le nombre d’applications holomorphes surjectives de $X$ vers $Y$ est fini lorsque $X$ et $Y$ sont des surfaces de Riemann compactes et que $Y$ est de genre au moins 2.

Ce résultat a été généralisé en dimension supérieure par Noguchi pour certaines variétés hyperboliques et Campana a établi un énoncé analogue pour les courbes orbifoldes hyperboliques.

Dans cet exposé, nous introduirons différentes notions liées à l’hyperbolicité et aux orbifoldes, afin de comprendre certaines propriétés de finitude pour les applications holomorphes entre variétés hyperboliques ou entre paires orbifoldes hyperboliques, généralisant ainsi le théorème de De Franchis.

Cet exposé vise à expliquer comment utiliser la méthode du cercle pour démontrer le théorème de Vinogradov. Cette première partie vise à convertir le problème en une somme d’exponentielles et étudier la contribution des arcs majeurs.