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C’est un lieu commun que de dire que musique et mathématiques entretiennent des relations étroites, à de multiples niveaux. Dans cet exposé je m’intéresserai plus spécifiquement aux liens relevant de la psycho-acoustique : qu’est-ce qui fait qu’un ensemble de notes nous semble harmonieux, ou pas, indépendamment de notre arrière-plan culturel ? La réponse à cette question, qui s’appuie sur le fonctionnement de l’audition humaine, n’a été comprise de façon convaincante qu’il y a une vingtaines d’années : j’en expliquerai brièvement la théorie, qui servira de motivation à la suite de l’exposé.

Une fois compris les principes de l’harmonie, on s’aperçoit vite que la théorie se retrouve à formuler des injonctions contradictoires, en particulier pour les instruments qui ne peuvent émettre qu’un ensemble discret de notes, en raison de contraintes de nature arithmétique. Dans la pratique, on doit donc arbitrer entre ces injonctions contradictoires pour accorder son instrument de façon aussi satisfaisante que possible : c’est ce qu’on appelle un « choix de tempérament ». Si aujourd’hui on privilégie le tempérament dit « égal », l’époque baroque (~XVIII^e siècles) s’est quant à elle intéressée aux tempéraments dits « bons », qui présentent l’intérêt qu’un même morceau “sonnera” selon un “ambiance” différente en fonction de la hauteur à laquelle on le joue. J’expliquerai quels critères ces tempéraments visent à optimiser, et ce que cela donne sur le plan mathématique.

Après ces prolégomènes plutôt de nature arithmétique, j’en viendrai à deux développements de nature statistique :

On cherche à déterminer si les observations d’un échantillon sont issues de réalisations de variables aléatoires de même loi de type Pareto, c’est-à-dire dont la queue se comporte comme une puissance négative fois une fonction à variations lentes. Pour cela, nous proposons un test basé sur une U-statistique construite en divisant l’échantillon en blocs de même taille et à regarder la différence moyenne entre les estimateurs de Hill basés sur des paires de blocs. Nous fournirons les garanties théoriques ainsi que pratiques de ce test. Il s’agit d’un travail réalisé en collaboration avec Armelle Guillou, disponible ici  https://hal.science/IRMASTAT/hal-05424414v1.

We discuss factorization problems for representations of a real Lie group G. First we discuss a factorization theorem of Dixmier-Malliavin type for the space of analytic vectors $E^{\omega}$ for representations of G on, for example, a Banach space E: There exists a natural algebra of superexponentially decreasing analytic functions A(G), such that $E^{\omega} = A(G) * E^{\omega}$. Such theorems can be deduced from simple properties of the wave equation on G, which provides detailed information about functions of the Laplacian. We then formulate a factorization theorem for real reductive groups which implies the Helgason conjecture, and we outline a new and elementary proof. (joint work with Krötz and Lienau, resp. Krötz, Kuit and Schlichtkrull)

Dans cet exposé, nous étudierons la répartition du maximum des sommes partielles associées aux sommes de Kloosterman, de Birch et, plus généralement, à certaines sommes de fonctions de trace $\ell$-adiques vérifiant des hypothèses adaptées. Kowalski et Sawin ont montré que ces sommes partielles, convenablement normalisées, convergent en loi vers une série de Fourier aléatoire, ce qui permet d’obtenir une première estimation du comportement de leur maximum. Par la suite, Autissier, Bonolis et Lamzouri ont obtenu des estimations fines de la queue de distribution du maximum de ces sommes partielles. L’objectif de cet exposé est d’aller plus loin en obtenant une estimation plus précise, et de montrer que, dans la grande majorité des cas, le maximum est atteint à proximité de la partie imaginaire de la demi-somme.