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Ce séminaire fait suite au groupe de travail et présentera un travail récent en collaboration avec Yvain Bruned, consacré à la construction d’un ansatz paracontrôlé général pour une large classe d’EDP stochastiques paraboliques singulières. Ces équations nécessitent la construction d’un cadre analytique particulier afin de pouvoir appliquer une procédure de renormalisation, permettant de donner un sens aux produits singuliers de l’équation.

L’objectif est de construire une procédure systématique permettant de décrire les différentes contributions stochastiques intervenant dans la solution et de renormaliser l’équation. L’ingrédient principal de la construction est une famille de distributions aléatoires indexée par des arbres décorés, fournissant un ansatz qui permet de résoudre l’équation via une procédure de point fixe. Ces objets sont construits de manière à satisfaire simultanément des propriétés analytiques de régularité et des propriétés algébriques indispensables aux calculs.

Nous expliquerons comment cette construction conduit à une formule générale de paralinéarisation, ainsi qu’à une formule permettant de définir les produits singuliers à travers des estimées de commutateurs. Enfin, nous décrirons la convergence des données stochastiques renormalisées, obtenue à l’aide d’une approche fondée sur l’inégalité de trou spectral et sur le calcul de Malliavin.

Résumé: Les sommes de caractères sont un outil fondamental en théorie analytique des nombres.

Nous aborderons plusieurs résultats et problèmes autour des sommes de caractères dans différents régimes, ainsi que leurs analogues pour les fonctions multiplicatives aléatoires. Nous mettrons notamment en évidence certains liens avec des problèmes de nature diophantienne.