Groupe de travail Géométrie non commutative

Cet exposé sera consacré à  une introduction à  la KK-théorie définie par Kasparov. Je commencerai par quelques rappels sur les modules de Hilbert. Je définirai ensuite la KK-théorie et je parlerai du produit de Kasparov en utilisant les connexions introduites par Connes et Skandalis. Si le temps le permet, je donnerai les définitions de deux généralisations de la KK-théorie dont nous aurons besoin par la suite.

Je commencerai par rappeller la définition des groupoïdes de Fredholm (une classe de groupoïdes pour lesquels on a une bonne caractérisation des opérateurs de Fredholm dans le calcul pseudodifférentiel qu’il engendre). Le but de l’exposé est de montrer qu’un tel groupoïde peut être caractérisé par ses réductions: plus précisément, un groupoïde $G$ est Fredholm si, et seulement si, toutes ses réductions $G_U^U$ sur des ouverts $U$ sont des groupoïdes de Fredholm. Comme résultat intermédiaire intéressant, on verra qu’on peut écrire le spectre primitif d’un groupoïde comme l’union des spectres de ses réductions sur des ouverts.

Je commencerai par quelques mots sur l’espace des idéaux primitifs d’une C*-algèbre. Puis, j’introduirai différentes familles de morphismes utiles pour caractériser le spectre des éléments d’une C*-algèbre, en particulier les familles exhaustives. Lorsqu’on veut montrer qu’une famille de morphismes est exhaustive, il est nécessaire de bien connaitre l’espace des idéaux primitifs. En m’appuyant sur les résultats de Williams, je donnerai une description de l’espace des idéaux primitifs lorsque la C*-algèbre est issue d’un produit croisé pour lequel le C* système dynamique associé a de bonnes propriétés topologiques. Grâce à  cette description, on peut construire facilement une famille exhaustive.

Je commencerai par quelques mots sur l’espace des idéaux primitifs d’une C*-algèbre. Puis, j’introduirai différentes familles de morphismes utiles pour caractériser le spectre des éléments d’une C*-algèbre, en particulier les familles exhaustives. Lorsqu’on veut montrer qu’une famille de morphismes est exhaustive, il est nécessaire de bien connaitre l’espace des idéaux primitifs. En m’appuyant sur les résultats de Williams, je donnerai une description de l’espace des idéaux primitifs lorsque la C*-algèbre est issue d’un produit croisé pour lequel le C* système dynamique associé a de bonnes propriétés topologiques. Grâce à  cette description, on peut construire facilement une famille exhaustive.

Je commencerai par quelques mots sur l’espace des idéaux primitifs d’une C*-algèbre. Puis, j’introduirai différentes familles de morphismes utiles pour caractériser le spectre des éléments d’une C*-algèbre, en particulier les familles exhaustives. Lorsqu’on veut montrer qu’une famille de morphismes est exhaustive, il est nécessaire de bien connaitre l’espace des idéaux primitifs. En m’appuyant sur les résultats de Williams, je donnerai une description de l’espace des idéaux primitifs lorsque la C*-algèbre est issue d’un produit croisé pour lequel le C* système dynamique associé a de bonnes propriétés topologiques. Grâce à  cette description, on peut construire facilement une famille exhaustive.

In this talk, I first review the method of layer potentials, with the emphasis on the double layer potential operator (also called Neumann-Poincar ́e operator) associated to the Laplace operator and a domain. Then I show that layer potential groupoids for conical domains constructed in an earlier paper (Carvalho-Qiao, Central European J. Math., 2013) are Fredholm groupoids, which enables us to deal with many analysis problems on singular spaces in a unified treatment. As an application, we obtain Fredholm criteria for operators on layer potential groupoids. This is joint with Catarina Carvalho.

La première partie de cet exposé constituera une introduction aux groupoïdes, en particulier ceux possédant une structure lisse : les groupoïdes de Lie. Nous verrons comment ceux-ci apparaissent naturellement dans l’étude des équations différentielles sur des variétés « singulières ». Je présenterai notamment l’exemple d’une variété possédant une singularité conique isolée, ainsi que le groupoïde qui lui est associé.

La première partie de cet exposé constituera une introduction aux groupoïdes, en particulier ceux possédant une structure lisse : les groupoïdes de Lie. Nous verrons comment ceux-ci apparaissent naturellement dans l’étude des équations différentielles sur des variétés « singulières ». Je présenterai notamment l’exemple d’une variété possédant une singularité conique isolée, ainsi que le groupoïde qui lui est associé.