Motivé par ses travaux et ceux de Behrend dans les années 30 concernant les ensembles primitifs d’entiers, Erdős conjectura en 1948 que si $\mathcal{A}$ est un ensemble dénombrable de réels $>1$, tel que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{\log x}\sum _{\alpha \le x,\alpha \in \mathcal{A}}\frac{1}{\alpha }>0$, alors pour tout $\epsilon >0$, il existe une infinité de triplets $(\alpha ,\beta ,n)\in {\mathcal{A}}^2\times \mathbb{N}$ tels que $\alpha \ne \beta$ et $|n\alpha -\beta |<\epsilon .$ Très peu de temps avant sa mort en 1996, il avait offert 500$ pour la résolution de ce problème de nature diophantienne.

Dans cet exposé, je présenterai un travail récent, en collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos et Jared Lichtman, où l’on démontre cette conjecture.

Random multiplicative functions are random models for arithmetic functions such as Dirichlet characters. Moments of sums involving random multiplicative functions are related to interesting counting problems, and understanding these counts can allow one to deduce the limiting distribution of the sums. Using this idea, Benatar, Nishry, and Rodgers showed that the limiting distribution of exponential sums with random multiplicative coefficients is Gaussian. However, they found that moments do not suffice if one wishes to understand the maximum size of these exponential sums. After introducing random multiplicative functions, we will discuss why this is the case, and show how one can obtain conjecturally sharp lower bounds for the maximum size of exponential sums with random multiplicative coefficients.

We consider some questions of arithmetic statistics for matrices of a given rank or fixed determinant or characteristic polynomial, whose entries are parametrised by arbitrary polynomials over the integers. In particular, some of our results improve a recent bound of V. Blomer and J. Li (2022) for counting matrices of given rank that are parametrised by monomials.

Joint works with Philipp Habegger, Ali Mohammadi and Igor Shparlinski.

The elliptic curves $E_d:y^2=x^3–dx$, where $d$ is a fourth-power-free integer, form a family of quartic twists. We study in this talk the average analytic rank $r(d)$ over the family. Under the GRH, we show that the average analytic rank is bounded by $13/6$, and by $3/2$ assuming a conjecture of Heath-Brown and Patterson about the distribution of quartic Gauss sums. Since the same result holds when we restricts to the subfamilies of curves $E_d$ where the root number is fixed (i.e. $W(E_d)=\pm 1$), this shows that there is a positive proportion of curves with $r(E_d)=0$ among the curves with even analytic rank, and a positive proportions of curves with $r(E_d)=1$ among the curves with odd analytic rank.

Our results are similar to the results obtained by Heath-Brown for the analytic rank of the quadratic twists $d{y}^2=x^3+ax+b$ under the GRH. For the quadratic twists, it was shown in the recent ground-breaking work of Smith that half of the quadratic twists have algebraic rank 0 and half of the quadratic twists have algebraic rank 1, under the assumption that the Tate-Shafarevic group is finite. For the case of the quartic twists $E_d:y^2=x^3–dx$, no bound for the average algebraic rank is known.

This is joint work with L. Devin, A. Fazzari and E. Waxman.

La conjecture des $k$-uplets de nombres premiers par Hardy et Littlewood prédit la répartition des $k$ uplets de nombres premiers séparés par des entiers donnés. Ainsi si $k=2$, elle conjecture l’asymptotique du  nombre de pairs de nombres premiers jumeaux (dont la différence vaut $2$). Malgré les avancées récentes, elle est encore hors de portée mais permet de prédire des résultats importants sur les nombres premiers.

En 2004, sous la conjecture de Hardy et Littlewood, Montgomery et Soundararajan ont établi  une relation asymptotique pour les moments
$$M_k(X,h):=\frac{1}{X}\sum _{1\le n\le X}(\psi (n+h)-\psi (n)-h{)}^k$$
o\`u
$\psi (x)$ est la fonction sommatoire de la fonction de von Mangoldt $\mathrm{\Lambda }.$ Pour $k$ pair, cela fournit un équivalent. Nous
étudions le cas impair et en particulier le cas $k=3$.
Nous présenterons les nouvelles techniques développées pour le cas $k=3$ pour obtenir un équivalent et expliquerons les heuristiques dans le cas $k$ impair

A celebrated result of Duke from the 80’s says that closed geodesics on the modular curve equidistribute as the discriminant tends to infinfity. This is the real quadratic analogue of the equidistribution of CM-points on the modular curve associated to class groups of imaginary quadratic fields. In this talk I will describe a number of generalizations of the result of Duke including; the distribution of the homology classes of closed geodesics, and hyperbolic orbifolds associated class groups of real quadr. fields (as defined by Duke-Imamouglu-Toth). I will emphasize the similarities and differences with the imaginary case. If time permits I will also discuss a q-orbit analogue.

Soit $F(X,Y)$ une forme binaire à coefficients entiers, de discriminant non nul, de degré $\ge 3$.
A quelle condition, nécessaire et suffisante, existe-t-il une forme $G(X,Y)$, non $GL(2,Z)$-équivalente à $F(X,Y)$, telle qu’on ait l’égalité des images $F(Z^2)=G(Z^2)$ ?
La condition trouvée repose sur l’existence d’un élément d’ordre $3$, d’un certain type, dans le groupe d’automorphismes de $F$.
Travail en commun avec Peter Koymans.

Résumé:

La difficulté du passage de la représentation digitale d’un entier à sa représentation multiplicative (en tant que produit de facteurs premiers) est à l’origine de nombreux problèmes ouverts importants en mathématiques et en informatique. Nous présenterons une sélection de résultats et de méthodes sur la répartition digitale de suites intéressantes, notamment les nombres premiers et les carrés, obtenus en collaboration avec Christian Mauduit, Michael Drmota, et plus récemment Guy Barat, Cécile Dartyge, Bruno Martin, Igor Shparlinski et Cathy Swaenepoel.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (« powered numbers »). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y\ge 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in \mathcal{A};p|n\Rightarrow p\le y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Decomposing functions in terms of higher-order harmonics is a central topic in higher-order Fourier analysis. In its simplest form, such a decomposition is as follows. For a bounded function defined on a finite abelian group $f:Z\to \mathbb{C}$, we write it as $f=f_s+f_r+f_e$ where: $f_s$ is the sum of « a few » Fourier characters with large amplitudes, $f_r$ is a function whose largest Fourier amplitude is « small » (which is the same as having a small Gowers $U^2$ norm), and $f_e$ is small in $L^2$. Higher-order analogues where we ask $f_r$ to be small in the Gowers $U^d$ norm for $d\ge 3$ are interesting as we may use them to, e.g., prove Szemerédi’s theorem with good quantitative bounds. Many results guarantee that such a decomposition exists, but few are implementable in applied scenarios. In this talk, we will present a practical approach to finding such a decomposition in the $U^3$ case and demonstrate its performance on synthetic data.

Nous étudions les nombres premiers avec l’ordre de leurs chiffres inversé (poci). Les nombres premiers palindromiques sont des exemples dont l’écriture inversée est également un nombre premier, mais tous les pocis n’est sont pas premiers. Nous démontrons l’infinitude des pocis dans toute progression arithmétique satisfaisant certains conditions simples. C’est un travail en collaboration avec Yuta Suzuki.

Si l’on se fixe une variété abélienne définie sur un corps de nombre $K$, alors sa classe d’isogénie (l’ensemble des variétés abéliennes qui lui sont isogènes sur $K$) est un ensemble fini: c’est l’un des théorèmes fondamentaux de géométrie arithmétique dus à Faltings. Dans le cas particulier des courbes elliptiques définies sur $K=\mathbb{Q}$, on sait exactement à quoi ressemblent ces classes d’isogénies, mais une telle classification est hors de portée en dimensions supérieures. Dans cet exposé, je parlerai d’un algorithme efficace de calcul de classes d’isogénie dans le cas « le plus simple » des surfaces abéliennes sur $\mathbb{Q}$, fondé sur l’utilisation des fonctions thêta de Riemann. Cet algorithme a permis pour la première fois de calculer de nombreux exemples de classes d’isogénies. Il s’agit d’un travail en commun avec Raymond van Bommel, Shiva Chidambaram et Edgar Costa.

In this talk, we will discuss the Gaussian behaviour of small quadratic non-residues for almost all primes in short intervals. We will begin with some background on quadratic non-residues and then briefly outline the proof. The proof uses the method of moments in conjunction with sieve methods and algebraic inputs from counting solutions of polynomial equations. This is joint work with Debmalya Basak and Alexandru Zaharescu.

À chaque polynôme unitaire sans facteur carré $D$ d’un anneau de polynômes ${\mathbb{F}}_q[t]$ nous pouvons associer un caractère réel quadratique ${\chi }_D$ et puis une fonction L de Dirichlet $L(s,{\chi }_D)$. Inspirés par l’article de Y. Lamzouri sur les constantes d’Euler-Kronecker d’extensions quadratiques de corps de nombres, nous étudions la famille des valeurs $-L^{\prime }(1,{\chi }_D)/L(1,{\chi }_D)$ lorsque $D$ parcourt l’ensemble des polynômes unitaires sans facteur carré de ${\mathbb{F}}_q[t]$. Tout d’abord, nous calculons uniformément leurs moments entiers sur un intervalle particulier. Puis, en utilisant un modèle aléatoire, nous montrons que les valeurs $-L^{\prime }(1,{\chi }_D)/L(1,{\chi }_D)$ possèdent une distribution limite lorsque le degré de $D$ tend vers l’infini, où la fonction de distribution admet une fonction de densité lisse. Nous prouvons également un théorème de discrépance pour la convergence des fréquences des valeurs $-L^{\prime }(1,{\chi }_D)/L(1,{\chi }_D)$ vers cette fonction de distribution. Notre théorème de discrépance fournit de l’information non négligeable à propos des petites valeurs de $-L^{\prime }(1,{\chi }_D)/L(1,{\chi }_D)$. Nous déduisons aussi des résultats analogues pour les constantes d’Euler-Kronecker d’extensions quadratiques. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Amir Akbary (University of Lethbridge).

Je proposerai une excursion aux « Fondements mathématiques » (dans le sens de l’intitulé d’une unité de notre L1 que j’étais amené à enseigner à Nancy pendant ces dernières années) : depuis le 19e siècle, la théorie des fondements des nombres et de l’analyse réels, et celle de la théorie des ensembles, se sont nourries mutuellement (Dedekind, Cantor,…). Au 20e siècle, cette interaction a pris un nouveau tournant : du coté théorie des ensembles, l’univers de von Neumann permet de sortir indemne de la « crise des fondements » ; du coté de la théorie des nombres, John Horton Conway proposa, dans son livre « On Numbers and Games » (connu sous le sigle ONAG), une nouvelle approche qui permet de voir les nombres réels dans un cadre beaucoup plus vaste de « tous les nombres » (« All Numbers Great and Small »). Le terme « nombres surréels », crée par Donald Knuth dans son livre Surreal numbers – how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (qui est paru même avant ONAG), est un peu malheureux car il suggère une analogie avec le courant d’art de même nom, ce qui est trompeur. Dans cet exposé, je tenterai de vous expliquer que ces nombres sont aussi réels que tout objet mathématique vivant dans l’univers mathématique, et pour lequel l’univers de von Neumann fournit un modèle. Il s’agit d’un travail en cours, loin d’être terminé.

(Joint Work with Michele Serra.)

In his paper  » Automorphisms of fields of formal power series » (Bull. Am. Math. Soc. 50, 1944) Otto Schilling described the automorphism group of k((t)), the field of Laurent series with coefficients in a ground field k and exponents in the group of integers. In our paper « The automorphism group of a valued field of generalised formal power series » (J. Algebra 605, 2022) we generalise his results to the case when the exponents lie in an arbitrary abelian group. In particular, our results apply to a variety of such fields, e.g. to the field of Puiseux series, of multivariate rational functions, of multivariate Laurent series, or to the field of surreal numbers.
The talk will be self contained talk and geared towards a general audience.

Dans son article `On a theorem of Jordan’, Serre considère la famille de polynômes $f_n(X)=X^n-X-1$ et la fonction qui compte le nombre de racines de $f_n$ dans le corps fini $F_p$ en tant que fonction de $p$. Il montre explicitement la ‘modularité’ de cette fonction pour $n=3,4$. Dans cet exposé, je parlerai d’un article en commun avec Alfio Fabio La Rosa et Chandrashekhar Khare dans lequel nous traitons le cas $n=5$ de plusieurs manières.

Dans le présent exposé, nous commençons par une introduction aux fonctions
génératrices et aux différentes méthodes permettant d’obtenir des formules
asymptotiques pour leurs coefficients. Après une excursion dans les nombres de
Fibonacci et les nombres catalans, nous introduisons les partitions d’entiers en
entiers. Autour de ce problème introductif, nous présentons la méthode du col et
ses applications. Ensuite, nous nous concentrons aux variants et des résultats récents. À la fin de l’exposé, nous présentons les travaux en cours
et des problèmes ouverts.