Dans cet exposé, nous allons rappeler deux ou trois définitions du Laplacien fractionnaire dans $R^N$ qui sont toutes équivalentes. Puis nous montrons que chacune des définitions donne un « Laplacien fractionnaire » dans le cas d’un domaine ouvert borné de $R^N$. Enfin, nous présentons des simulations numériques pour illustrer la différence entre les « Laplaciens fractionnaires » les plus étudiés dans la littérature.

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Nous nous intéresserons à  l’obtention d’inégalités log-convexes à  poids portant sur les solutions de l’équation de la chaleur. La présence du poids permet de localiser l’information sur un sous-domaine, et permet ainsi de quantifier le prolongement unique ponctuel en temps. Nous essayerons de faire le lien avec les méthodes classiques d’inégalités de Carleman.

Les différences finies compactes, introduites par Lothar Collatz dès 1951 produisent des schémas d’ordre élevé utiles dans certains domaines de la physique : mécanique des fluides, acoustique, chimie ab initio etc. Le calcul des coefficients de ces méthodes se fait grâce aux formules de Taylor mais peut aussi faire appel aux Approximants de Padé ou aux polynômes symétriques. Ces schémas appliqués à  l’équation de Poisson et associés à  des algorithmes multigrilles comptent parmi les meilleurs solveurs d’équations elliptiques.

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Dans cet exposé on s’intéressera à  l’observation et au contrôle de l’équation des ondes dans certains cas « pathologiques ». Plus précisément, nous étudierons dans un premier temps la stabilité du processus de contrôle HUM lorsque les coefficients de l’équation sont mal connus (disons bruités). Puis on donnera des résultats d’observation/contrôle pour des équations à  coefficients très peu réguliers. Une partie des ces résultats a été obtenue en collaboration avec Sylvain Ervedoza (Cnrs, I.M. Toulouse ).

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