Dans cet exposé, je passerai en revue un certain nombre de résultats récents sur les équations de Hamilton-Jacobi diffusives, de la forme . Ce type d’équations, qui interviennent en théorie du contrôle stochastique, mais aussi dans certains modèles de croissance de surface, donnent lieu à une variété de comportements intéressant. Nous nous intéresserons en particulier à deux classes de phénomènes: – Explosion du gradient: localisation des singularités au bord, explosion en seul point, vitesses d’explosion, profils en espace, estimations de type Bernstein, théorèmes de type Liouville et applications; – Continuation au sens de viscosité après l’explosion du gradient: solutions avec ou sans perte de conditions au bord, récupération des conditions au bord, régularisation.
