Stabilité en optimisation de forme sous contrainte de convexité

La notion de stabilité des inégalités fonctionnelles et géométriques a gagné beaucoup d’intérêt dans diverses communautés depuis une quinzaine d’année. Dans le cas de l’optimisation de forme (on minimise une énergie dont la variable est un sous-domaine de $\mathbb{R}^N$), la question se formule ainsi : si un domaine est l’unique minimiseur d’une certaine énergie, on voudrait savoir si les domaines ayant une énergie proche de la valeur minimale, sont nécessairement proches en un certain sens de ce minimum ; et ceci de façon quantifiée.

On présentera un exemple (l’inégalité isopérimétrique classique de l’espace euclidien) et une stratégie qui repose sur les notions de dérivation de forme et de théorie de régularité. On verra ensuite comment cette stratégie peut s’adapter à des exemples non standards quand on se restreint à la classe des domaines convexes.

Ceci est un travail en commun avec Raphaël Prunier