La limite locale des arbres pondérés exponentiellement par la hauteur

Le cas le plus simple et peut-être le plus naturel des limites locales des arbres est Uniform Infinite Planar Tree: on commence par la suite des mesures de probabilité uniforme \nu_N dont le support est l’ensemble des arbres plans enracinés de taille N et on étudie la limite faible \nu de cette suite, dont le support est l’ensemble des arbres plans enracinés de taille infinie.

Une modification naturelle dans la recherche des limites différentes est de pondérer les arbres : est-ce que la nouvelle suite des mesures \rho_N, par rapport à laquelle la valuer d’un arbre de taille N est proportionnelle à son poids, admet une limite faible ?

Dans cet exposé, on considère des arbres planes enracinés dont la distribution est uniforme pour une hauteur h et une taille N fixée et dont la dépendance à la hauteur est de forme exponentielle, \exp(-\mu h), pour \mu réel. En définissant le poids total de ces arbres de taille N fixe comme Z^{\mu}_N, on détermine son comportement asymptotique pour N grand, pour \mu réel quelconque. Finalement, on identifie la limite locale des mesures de probabilité correspondantes et trouve une transition à \mu=0 d’une phase à une seule épine à une phase à plusieurs épines (backbone). En conséquence, il y a une transition dans le taux de croissance du volume des boules autour de la racine en fonction du rayon, passant d’une croissance linéaire pour \mu < 0 à la croissance quadratique familière à \mu=0 et à une croissance cubique pour \mu > 0.