Relations entre les zéros d’un polynôme et sa mesure de Mahler

Date/heure
25 novembre 2021
14:30 - 15:30

Lieu
Salle Döblin

Oratrice ou orateur
Jean-Marc Sac-Épée (IECL)

Catégorie d'évènement
Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz

Résumé

Dans cet exposé, on va s’intéresser aux informations qu’on peut donner sur les zéros d’un polynôme $P$ à coefficients complexes connaissant sa mesure de Mahler $M(P)$. Ces informations concerneront notamment la localisation des zéros, leur distance à certains points du cercle unité, le nombre de zéros réels.

On donnera également des résultats de minoration relatifs à la mesure de Mahler. Au fil de l’exposé, on revisitera ainsi des résultats classiques relatifs aux polynômes de $\mathbb{Z}[X]$, qu’on généralisera aux polynômes à coefficients complexes.

Par exemple, un théorème de A. Schinzel montre que tout polynôme $P$ de $\mathbb{Z}[X]$, totalement réel, de degré $d$, vérifiant $P(-1)P(1)\ne 0$, $|P(0)|=1$, est tel que
$$M(P)\ge (\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^{\frac{d}{2}}.$$
Nous montrons que si un polynôme $P$ de $\mathbb{C}[X]$ possède $m\ge 1$ racines réelles et satisfait $P(-1)P(0)P(1)\ne 0$, alors
$$M(P)\ge (\frac{|P(1)P(-1){|}^{\frac{1}{m}}+{(4^{\frac{d}{m}}|P(0){|}^{\frac{2}{m}}+|P(1)P(-1){|}^{\frac{2}{m}})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{d}{m}}}{)}^{\frac{m}{2}}.$$