Date/heure
28 janvier 2020
10:45 - 11:45
Oratrice ou orateur
Stéphane Nonnenmacher
Catégorie d'évènement Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy)
Résumé
La diffusion quantique (ou ondulatoire) concerne l’évolution d’ondes (ou de fonctions d’onde) provenant de l’infini, diffusées par un potentiel (ou un obstacle) localisé. La description de l’évolution des ondes aux temps longs débouche sur l’étude du spectre de résonances de l’opérateur engendrant l’évolution (opérateur hamiltonien, laplacien). Les résonances sont des valeurs propres généralisées de cet opérateur, à valeurs complexes. On cherche à décrire les résonances proches de l’axe réel (résonances à temps de vie long), qui influencent plus fortement l’évolution aux temps longs. Dans le régime de haute fréquence (ou régime semiclassique), la distribution de ces résonances est influencée par la dynamique classique associée: le flot hamiltonien ou le flot géodésique; en particulier, l’ensemble des trajectoires captées (trajectoires ne s’échappant pas vers l’infini) joue un rôle important. Nous nous focaliserons sur des situations dans lesquelles ces trajectoires captées ont des propriétés d’instabilité (hyperbolicité). On obtiendra alors des critères dynamique sur ce flot, conduisant à l’existence d’une bande sans résonances (« gap » de résonances). Par exemple, pour des configurations simples de plusieurs obstacles convexes dans l’espace euclidien, les trajectoires captées peuvent former un ensemble fractal portant une dynamique chaotique (on est dans une situation de « chaos quantique ouvert »). D’autres exemples en géométrie hyperbolique seront donnés. On étudiera également le cas o๠l’ensemble capté forme une sous-variété symplectique, sur laquelle le flot hamiltonien est transversalement hyperbolique. Ce dernier cas donne lieu à une application inattendue: il permet d’analyser un problème de dynamique classique, la décroissance des corrélations pour un flot uniformément hyperbolique (flot Anosov de contact).