Date/heure
8 septembre 2025
14:00 - 16:00
Lieu
Salle de conférences Nancy
Oratrice ou orateur
Auguste Hébert
Catégorie d'évènement Géométrie
Résumé
Vers une connectification des immeubles supérieurs
Soit $G$ un groupe réductif déployé sur un corps réellement valué, par exemple $G=SL_n(F)$, où $F=k((t))$ pour $n$ un entier naturel et $k$ un corps. Afin d’étudier un tel groupe, Bruhat et Tits lui ont associé un objet de nature géométrico-combinatoire $I(G)$, appelé immeuble de Bruhat-Tits, sur lequel $G$ agit. On peut alors étudier $G$ via son action sur $I(G)$ et transformer une question de nature algébrique en une question plus géométrique. Par exemple si $G=SL_2(k((t)))$, où k est un corps, son immeuble est un arbre homogène de valence $|k|+1$.
Soit maintenant $F$ un corps muni d’une valuation quelconque, c’est à dire non forcément réelle. On peut par exemple prendre $F=k((t_1))((t₂))…((t_m))$, où m est un entier naturel, qui est naturellement muni d’une valuation à valeurs dans $\mathbb{Z}^m$. Afin d’étudier des groupes réductifs déployés sur de tels corps, Bennett a introduit dans les années 90 une notion d’immeubles supérieurs qui généralise la notion d’immeubles de Bruhat-Tits. Avec Izquierdo et Loisel, nous avons associé à un tel groupe un immeuble supérieur, généralisant ainsi la construction de Bruhat et Tits. Lorsque la valuation est à valeurs réelles, l’immeuble de Bruhat-Tits est connexe et contractile, ce qui permet d’appliquer des techniques de topologie algébrique pour étudier le groupe. En revanche, lorsque la valuation n’est pas réelle (par exemple si $m\geq 2$), l’immeuble n’est pas connexe. Afin de généraliser certains résultats connus pour des valuations réelles, il semble donc utile de « connectifier » l’immeuble c’est à dire de rajouter des points pour le rendre connexe. Je parlerai d’avancées dans cette direction, obtenues avec Bravo, Izquierdo et Loisel.