Séminaire de groupes algébriques

Titre : Bidilatations des coefficients de Littlewood-Richardson

Résumé : Les coefficients de Littlewood-Richardson évaluent la dimension de l’espace des invariants dans le produit tensoriel de 3 représentations irréductibles de GL_n.

Ces représentations sont paramétrées par des partitions. Etant donnée une partition, on peut multiplier ses parts par un entier p, et recopier chacune de ses parts un nombre fini de fois, disons q. Une conjecture de Fulton, démontrée, indique que si on a un triplet de partitions qui donne un coefficient de Littlewood-Richardson égal à 1, alors il en est de même pour les partitions obtenues en appliquant conjointement les deux dilatations ci-dessus. D’autres résultats indiquent ce qui se passe en partant d’un coefficient égal à 2 et en appliquant l’une ou l’autre des dilatations : nous obtenons l’entier p+1 (ou q+1). Je montrerai plus généralement qu’en appliquant conjointement les deux dilatations, nous obtenons le coefficient binomial (p+q,q).

L’étude des sections invariantes est équivalente à l’étude d’un quotient GIT associé, et ce résultat est obtenu en montrant que le quotient GIT associé aux partitions dilatées verticalement q fois est l’espace projectif P^q, dont l’espace des sections de O(p) a comme dimension le coefficient binomial indiqué.