Observateurs adaptatifs pour l’équation des ondes et leurs discrétisations associées : formulation et analyse

Le contexte de cette présentation est l’étude de problèmes inverses pour les phénomènes de propagation d’onde sous l’angle de la théorie du contrôle, plus précisément la théorie de l’observation. Notre objectif est de formaliser, d’analyser et de discrétiser des stratégies appelées séquentielles en assimilation de données, où les observations sont prises en compte à mesure qu’elles sont disponibles. Le système résultant appelé observateur (ou estimateur séquentiel) se stabilise sur la trajectoire observée reconstruisant alors l’ état et éventuellement des paramètres inconnus du système. Ici nous nous concentrons plus particulièrement sur la reconstruction de source au second membre d’une équation des ondes, un problème d’estimation qui peut apparaître comme intermédiaire en compléxité entre l’estimation d’ état (ou de condition initiale) et l’identification de paramètres généraux. Dans ce cadre, nous proposons de définir dans un formalisme déterministe en dimension infinie, un estimateur dit de Kalman qui estime séquentiellement le terme source à identifier. Par les outils de programmation dynamique, nous montrons que cet estimateur séquentiel est équivalent à la minimisation d’une fonctionnelle, cette équivalence nous permettant d’en proposer l’analyse de convergence sous condition d’observabilité. Nous démontrons alors des inégalités d’observabilité pour différents types de source en combinant analyse fonctionnelle, méthodes des multiplicateurs et estimations de Carleman. Ces inégalités nous informent notamment sur le caractère éventuellement mal-posé des problèmes inverses de reconstruction que nous étudions et nous permettent d’en quantifier le degré et ainsi d’adapter les régularisation proposées. Concernant les questions de discrétisation et leur analyse numérique, nous défendons l’idée de redéfinir ces observateurs associés à la minimisation de la fonctionnelle une fois que le modèle direct a été discrétisé. Cette approche discrétiser-puis-optimiser est avantageuse pour l’analyse par rapport à optimiser-puis-discrétiser. Il n’en reste pas moins que les inégalités d’observabilité doivent être étendues aux systèmes discrets. A ce propos, nous étendons en particulier des résultats de stabilisation exponentielle uniforme en la discrétisation pour des discrétisations par éléments finis de haut degré de l’équation des ondes.