Uniformisation par la boule dans le cas non-compact (travail en cours avec H. Guenancia)

Les travaux de Yau et de Simpson sur l’uniformisation des variétés complexes donnent une caractérisation algébrique des variétés projectives qui sont des quotients lisses et compacts de la boule : ce sont celles pour lesquelles le fibré canonique est ample, et qui satisfont le cas d’égalité dans la célèbre inégalité de Miyaoka-Yau. Ces travaux ont ensuite été généralisés dans le cas singulier par Greb-Kebekus-Peternell-Taji et Claudon-Graf-Guenancia, pour caractériser les variétés qui sont des quotients singuliers de la boule.

Dans ce travail, nous voudrions maintenant trouver une caractérisation analogue pour les quotients non-compacts ; on peut déjà conclure dans plusieurs situations. On présentera la stratégie générale de la preuve, qui utilise de manière essentielle la théorie des variétés spéciales de F. Campana, ainsi que les liens entre hyperbolicité complexe et groupes fondamentaux des variétés quasi-projectives (dus notamment au travail de Brotbek, Deng, Daskalopoulos, Mese, Yamanoi…)