Zéros de combinaisons linéaires de fonctions $L$ de Dirichlet sur la droite critique

Date/heure
14 décembre 2023
14:30 - 15:30

Oratrice ou orateur
Jérémy Dousselin (IECL)

Catégorie d'évènement
Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz

Résumé

Soient $N \geq 1$ et $χ_{1}, \dots, χ_{N}$ des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts, de conducteur $q_{1}$ , …, $q_{N}$ respectivement. Posons

$F (s) := \sum_{j = 1}^{N} c_{j} ε_{j} q_{j}^{s / 2} L (s, χ_{j}),$

où $(ε_{j})$ sont des complexes de module 1 tels que $F$ satisfasse une équation fonctionnelle et $c_{j} \in R^{*}$ . Nous distinguons les zéros de $F$ en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués par cette équation fonctionnelle, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale $V$ . Nous notons $N (T)$ le nombre de zéros de $F$ dans le rectangle ${z \in V : ℑ (z) \in [0, T]}$ et $N_{0} (T)$ le nombre de ces zéros étant sur la droite critique.

A la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d’un raisonnement prouvant qu’une proportion positive de zéros non-triviaux de $F$ sont sur la droite critique, en établissant que

$κ_{F} := \underset{T}{lim inf} \frac{N_{0} (2 T) - N_{0} (T)}{N (2 T) - N (T)} \geq \frac{c}{N^{2}}$

pour un $c > 0$ . Nous proposons alors d’améliorer et d’expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que

$κ_{F} \geq \frac{2.16 \times 10^{- 6}}{N \log N},$

pour tout $N$ assez grand.