Interpolation et approximation sphérique – Applications en climatologie et océanographie mathématiques

Une méthode de calcul de type différences finies a été introduite dans [2,3,4]. Cette méthode utilise la grille sphérique appelée Cubed Sphere, qui est composée de six cartes locales de type cartésien, correspondant aux six faces d’un cube. Cette grille est couramment utilisée pour des méthodes numériques sur la sphère [1]. Le principe de la méthode numérique considérée est d’utiliser des opérateurs aux différences compacts. Cela est rendu possible par la structure quasi-cartésienne de la grille. On peut ainsi obtenir des approximations de très haute précision aux points de grille comme dans un code de calcul Hermitien sur un rectangle. Tous les calculs se ramènent à des évaluations de dérivées Hermitiennes en contexte périodique. Cette circonstance rend ce contexte de calcul attractif pour le calcul hautes performances. On obtient de la sorte une alternative au calcul pseudospectral discret habituel sur la grille longitude-latitude (lon-lat). La grille Cubed Sphere permet entre autres d’éviter le problème au pole de la grille lon-lat.

Dans la thèse de M. Brachet [5], l’étude du schéma en question a été approfondie dans plusieurs directions :

• Définition d’opérateurs différentiels discrets sur la sphère : gradient, divergence, rotationnel.
• Etude des propriétés de conservation de ces opérateurs.
• Stabilité du schéma proposé en version semi-discrète et totalement discrète.
• Simulation des équations LSWE et SW non linéaires en grand temps physique.
• Etude de cas test pour la climatologie et l’océanographie.

Le but de la thèse proposée est la poursuite des travaux engagés dans les directions suivantes :

• Algorithmes en calcul scientifique sur la Cubed Sphere
  Dans les travaux précédents, un problème est l’absence de solveur rapide. Un premier thème de recherche est d’obtenir un algorithme rapide pour des opérateurs de dérivation discrets. On vise des grilles de grande taille : N=1024, 2048, 4096, 8192. Cette dernière grille correspond à 400 millions de noeuds sur la sphère terrestre avec une résolution d’un kilomètre à l’équateur. Le principe de base de l’algorithme envisagé est de prédire un gradient d’interface sur les frontières de chaque panel. Pour cette prédiction, on pourra considérer par exemple l’utilisation de développements de Taylor, l’utilisation d’une interpolation ou d’une approximation par des harmoniques sphériques. On pourra aussi utiliser des méthodes de moindres carrés locales. Une fois cette prédiction effectuée, un calcul sur chaque panel de type dérivée première, seconde, 3eme, etc. pourra être envisagée par une méthode de type FFT. On tirera ainsi parti de la structure quasi-cartésienne de la grille. Des applications de ce calcul rapide pourront être :

1. Résolution d’équations elliptiques sur la sphère de type Laplace ou biharmonique.
2. Résolution d’équations d’ondes sur la sphère. En particulier, équations d’onde de type SW provenant de la climatologie ou de l’océanographie. Equations de type élastique.
3. Résolution d’équations sur la sphère avec des schémas implicites d’ordre élevé. Dans ces schémas la vitesse de résolution des étapes implicites en espace joue un rôle essentiel
4. L’étude théorique pourra considérer la conservativité numérique des schémas obtenus. Un bilan sur l’existence/unicité des équations SW et LSW sera également à considérer.

• Définition d’opérateurs discrets de dérivation par apprentissage
  On examinera la faisabilité de la construction d’opérateurs de dérivation discrets par apprentissage. Des opérateurs pour les dérivées d’ordre 1,2,3,… seront définis à partir d’une stratégie de réseaux de neurones. La définition de la base d’apprentissage sera obtenue à partir de méthodes numériques de type harmoniques sphériques [10].
• Equations pour l’atmosphère et l’océan.
  Les outils développés précédemment permettent de résoudre sur des grilles fines des équations de propagation d’onde de type SW. Un autre type d’équation est l’équation de Munk-Stommel pour les bassins océaniques. Il s’agit d’une équation de type biharmonique comportant une couche limite sur la partie ouest du bassin. Ce problème est multi échelle, car la couche limite est à une échelle nettement plus petite qu’une maille, même avec une grille très fine. Il est donc nécessaire d’utiliser un mécanisme de sous résolution locale dans la couche limite. Les différentes stratégies de conception de schéma, (SAT, transmission entre domaines) et d’algorithmes de résolution seront envisagés, le tout dans un cadre différences finies. Dans un second temps, on envisagera le cas de géométries complexes (océan avec côtes) par des schémas de type cartésien avec pénalisation.
  On considérera les points suivants :

• Reprise de cas tests pour les ondes linéaires sur la sphère avec nouveaux schémas rapides. Ordre 4 en espace et en temps sur grille fine sur PC de bureau.
• Equations de Munk-Stommel dans différentes configurations. Analyse théorique sur des cas simples. Définition de schémas aux différences adaptés.
• Comparaison approche conservative et non-conservative.
• Méthodologie SPB/SAT sur la grille Cubed Sphere.

Des relations avec la communauté de la climatologie et de l’océanographie numérique sont prévues. En particulier, le(la) candidat(e) participera au workshop PDE’s on the sphere, qui se tient une fois tous les deux ans. Les problèmes d’actualité sur les codes de calcul 3D en climatologie /océanographie y sont évoqués. Les travaux seront présentés à cette occasion.

Interpolation sphérique – Harmoniques sphériques – Approximation Hermitienne – Schémas en temps – Grille « Cubed Sphere » – Géométrie effective sur la sphère