Mori dream spaces are a special kind of varieties introduced by Hu and Keel in 2000 that enjoy very good properties with respect to the minimal model program. In this talk we explore when blowups of P^3 along smooth curves are Mori dream spaces, generalizing an early example of A. Küronya.  This is joint work with Sokratis Zikas.

Geometric methods in computational complexity

We investigate the stability of the Morse index for a sequence of Yang–Mills connections on closed 4-manifolds under bubble-tree convergence. As critical points of a conformally invariant energy, Yang–Mills connections share close ties with harmonic maps in various respects. At the same time, their analysis is simpler provided one works in a suitable gauge, namely the Coulomb gauge. Motivated by applications to the construction of non-stable solutions of the Yang–Mills equations, this work extends recent methods developed by Da Lio–Gianocca–Rivière for index stability to the Yang–Mills framework, employing sharp decay estimates to show that the neck regions contribute positively to the second variation.

Entre variétés à canonique trivial de la même dimension il y a très peu de morphismes dominants, car ils ne peuvent pas ramifier. Par contre, il y a beaucoup d’applications rationnelles dominantes. Parmi elles, celles qui sont Galoisiennes sont les plus géométriques, car elles permettent de voir le codomaine comme un quotient du domaine par un groupe fini (à birationalités près). Nous allons examiner quelles sont les restrictions que la géométrie d’une variété projective lisse avec canonique trivial impose sur ses revêtements rationnels Galoisiens. On applique ces restrictions aux variétés hyperkählériennes pour comprendre lesquelles peuvent être obtenues comme quotients birationnels d’un groupe fini agissant sur une autre variété à canonique trivial, ce qui donne des restrictions à des questions de Alexeev et Laza.

Mok a déterminé les lieux de base stables et augmentés associés au fibré cotangent d’un quotient compact d’un domaine symétrique borné irréductible. Dans cet exposé, on montre que son résultat se généralise aux quotients non compacts de volume fini. Cela nécessite de considérer des métriques singulières, pour l’étude desquelles on utilise les travaux de Kollár en théorie de Hodge variationnelle. On obtient comme application l’isotrivialité des familles séparables de courbes paramétrées par l’espace des modules des variétés abéliennes sur tout corps, à l’exception d’un nombre fini de caractéristiques positives.

Vers une connectification des immeubles supérieurs

Soit $G$ un groupe réductif déployé sur un corps réellement valué, par exemple $G=SL_n(F)$, où $F=k((t))$ pour $n$ un entier naturel et $k$ un corps. Afin d’étudier un tel groupe, Bruhat et Tits lui ont associé un objet de nature géométrico-combinatoire $I(G)$, appelé immeuble de Bruhat-Tits, sur lequel $G$ agit. On peut alors étudier $G$ via son action sur $I(G)$ et transformer une question de nature algébrique en une question plus géométrique. Par exemple si $G=SL_2(k((t)))$, où k est un corps, son immeuble est un arbre homogène de valence $|k|+1$.

Soit maintenant $F$ un corps muni d’une valuation quelconque, c’est à dire non forcément réelle. On peut par exemple prendre $F=k((t_1))((t₂))…((t_m))$, où m est un entier naturel, qui est naturellement muni d’une valuation à valeurs dans $\mathbb{Z}^m$. Afin d’étudier des groupes réductifs déployés sur de tels corps, Bennett a introduit dans les années 90 une notion d’immeubles supérieurs qui généralise la notion d’immeubles de Bruhat-Tits. Avec Izquierdo et Loisel, nous avons associé à un tel groupe un immeuble supérieur, généralisant ainsi la construction de Bruhat et Tits. Lorsque la valuation est à valeurs réelles, l’immeuble de Bruhat-Tits est connexe et contractile, ce qui permet d’appliquer des techniques de topologie algébrique pour étudier le groupe. En revanche, lorsque la valuation n’est pas réelle (par exemple si $m\geq 2$), l’immeuble n’est pas connexe. Afin de généraliser certains résultats connus pour des valuations réelles, il semble donc utile de « connectifier » l’immeuble c’est à dire de rajouter des points pour le rendre connexe. Je parlerai d’avancées dans cette direction, obtenues avec Bravo, Izquierdo et Loisel.