We study the large-time $\ell^p$ behavior of transition densities of an isotropic random walk in homogeneous trees, which are infinite, connected, acyclic graphs in which every vertex has the same degree, and can be thought as discrete counterparts of hyperbolic space. Caloric functions of interest are then convolutions of these transition densities with a finitely supported initial condition, and we are interested in their large time behavior in $\ell^p$ norm.

For each $p \in [1, \infty]$, we introduce a notion of a $p$-mass function and prove that caloric functions with compactly supported initial data, asymptotically decouple as the product of this mass function the transition density. Using tools of Fourier analysis available on such graphs, we show that this function even boils down to a constant, still depending on $p$, if the initial condition is radial, that is, depends only on the distance to the origin. Determining the spatial concentration of the densities in $p$-norm plays an important role, in turn clarifying the interplay between the exponential volume growth of the graph and heat diffusion. The results extend to affine buildings, even exotic ones beyond the Bruhat–Tits framework.

Joint work with B. Trojan.

En mécanique quantique, le principe d’incertitude d’Heisenberg stipule qu’on ne peut connaître simultanément avec précision la position et la vitesse d’une particule. Cette célèbre inégalité relie en réalité une fonction et sa transformée de Fourier.
En 1989, motivés par des applications en traitement du signal, Donoho et Stark donnent un nouveau principe d’incertitude, non plus pour des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ mais sur un groupe abélien fini. Ce dernier a ensuite été significativement amélioré : en 2006, Tao prouve ce qu’on appelle un principe d’incertitude fort pour des fonctions définies sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, où $p$ est premier. Plus récemment, en 2021, Garcia, Karaali et Katz généralisent ce principe aux corps finis, pour des fonctions vérifiant une certaine condition de symétrie qu’on détaillera.
Dans cet exposé, on présentera une généralisation du principe d’incertitude fort pour des groupes abéliens finis quelconques. Nous verrons à quel point ce dernier est restrictif, et nous décrirons les cas pour lesquels il est vérifié. Enfin, nous terminerons avec une application en combinatoire additive, plus précisément un théorème de type Cauchy-Davenport sur les corps finis.
Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Angelot Behajaina.

The discrepancy of a distribution of $N$ points in the torus $T^d$ with respect to a given family of test sets measures how far the points are from being uniformly distributed over that family. When the family consists of all translates of a fixed set, one can consider the $L^2$-average of the discrepancy over translations and use Fourier analytical methods to understand its size. Sharp lower bounds for such $L^2$ discrepancy in terms of $N$ are known for wide classes of sets in $T^2$, but much less is known in higher dimensions. In this talk, I will report on recent progress in this direction, focusing on a family of test
sets with “cylindrical” symmetry that can be defined in any dimension. In three dimensions, these sets have the shape of a barrel. They are particularly
interesting because they exhibit geometric features known to play a key role in discrepancy theory: flat regions, curved regions, and corners. Joint work with
Luca Brandolini and Alessandro Monguzzi.

En 1999, Wen Chao Lu a donné une démonstration par l’analyse réelle du théorème des nombres premiers avec terme d’erreur, “à epsilon près” celui obtenu un siècle auparavant par La Vallée Poussin au moyen de l’analyse complexe. En 2024, Gozé a, dans sa thèse, donné une version quantitative de ce résultat.

Dans un travail en cours avec Gozé et Bruno Martin, nous reprenons les démonstrations de Lu et Gozé, et tentons d’en dégager les idées essentielles. L’exposé présentera sous une forme simple certaines d’entre elles.

Résumé

Cet exposé sera consacré à  une introduction à  la KK-théorie définie par Kasparov. Je commencerai par quelques rappels sur les modules de Hilbert. Je définirai ensuite la KK-théorie et je parlerai du produit de Kasparov en utilisant les connexions introduites par Connes et Skandalis. Si le temps le permet, je donnerai les définitions de deux généralisations de la KK-théorie dont nous aurons besoin par la suite.

Nous introduisons une classe de pavages hyperboliques dérivant de substitutions. Nous commencerons par rappeler quelques notions autour des pavages puis nous introduirons les C*-algèbres de pavages hyperboliques. Nous terminerons enfin par présenter les générateurs de la K-théorie du pavage de Penrose hyperbolique provenant de la substitution de Fibonacci.

Résumé

Rencontre annuelle du groupe de recherche Géométrie Non Commutative: Cliquer sur le lien “Arxiv” pour plus de détails.

Cet exposé sera consacré à  une introduction à  la KK-théorie définie par Kasparov. Je commencerai par quelques rappels sur les modules de Hilbert. Je définirai ensuite la KK-théorie et je parlerai du produit de Kasparov en utilisant les connexions introduites par Connes et Skandalis. Si le temps le permet, je donnerai les définitions de deux généralisations de la KK-théorie dont nous aurons besoin par la suite.

Résumé

Je commencerai par rappeller la définition des groupoïdes de Fredholm (une classe de groupoïdes pour lesquels on a une bonne caractérisation des opérateurs de Fredholm dans le calcul pseudodifférentiel qu’il engendre). Le but de l’exposé est de montrer qu’un tel groupoïde peut être caractérisé par ses réductions: plus précisément, un groupoïde $G$ est Fredholm si, et seulement si, toutes ses réductions $G_U^U$ sur des ouverts $U$ sont des groupoïdes de Fredholm. Comme résultat intermédiaire intéressant, on verra qu’on peut écrire le spectre primitif d’un groupoïde comme l’union des spectres de ses réductions sur des ouverts.

Résumé

Dans ce travail en collaboration avec Guoliang Yu, nous définissons pour une famille d’espaces métriques finies des estimations quantitatives pour les applications d’assemblages. Nous relions ces estimations à  la conjecture de Novikov. En application, nous donnons une preuve de la conjecture de Novikov pour les groupes à  complexité de décomposition finie.