We study the large-time $\ell^p$ behavior of transition densities of an isotropic random walk in homogeneous trees, which are infinite, connected, acyclic graphs in which every vertex has the same degree, and can be thought as discrete counterparts of hyperbolic space. Caloric functions of interest are then convolutions of these transition densities with a finitely supported initial condition, and we are interested in their large time behavior in $\ell^p$ norm.

For each $p \in [1, \infty]$, we introduce a notion of a $p$-mass function and prove that caloric functions with compactly supported initial data, asymptotically decouple as the product of this mass function the transition density. Using tools of Fourier analysis available on such graphs, we show that this function even boils down to a constant, still depending on $p$, if the initial condition is radial, that is, depends only on the distance to the origin. Determining the spatial concentration of the densities in $p$-norm plays an important role, in turn clarifying the interplay between the exponential volume growth of the graph and heat diffusion. The results extend to affine buildings, even exotic ones beyond the Bruhat–Tits framework.

Joint work with B. Trojan.

En mécanique quantique, le principe d’incertitude d’Heisenberg stipule qu’on ne peut connaître simultanément avec précision la position et la vitesse d’une particule. Cette célèbre inégalité relie en réalité une fonction et sa transformée de Fourier.
En 1989, motivés par des applications en traitement du signal, Donoho et Stark donnent un nouveau principe d’incertitude, non plus pour des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ mais sur un groupe abélien fini. Ce dernier a ensuite été significativement amélioré : en 2006, Tao prouve ce qu’on appelle un principe d’incertitude fort pour des fonctions définies sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, où $p$ est premier. Plus récemment, en 2021, Garcia, Karaali et Katz généralisent ce principe aux corps finis, pour des fonctions vérifiant une certaine condition de symétrie qu’on détaillera.
Dans cet exposé, on présentera une généralisation du principe d’incertitude fort pour des groupes abéliens finis quelconques. Nous verrons à quel point ce dernier est restrictif, et nous décrirons les cas pour lesquels il est vérifié. Enfin, nous terminerons avec une application en combinatoire additive, plus précisément un théorème de type Cauchy-Davenport sur les corps finis.
Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Angelot Behajaina.

The discrepancy of a distribution of $N$ points in the torus $T^d$ with respect to a given family of test sets measures how far the points are from being uniformly distributed over that family. When the family consists of all translates of a fixed set, one can consider the $L^2$-average of the discrepancy over translations and use Fourier analytical methods to understand its size. Sharp lower bounds for such $L^2$ discrepancy in terms of $N$ are known for wide classes of sets in $T^2$, but much less is known in higher dimensions. In this talk, I will report on recent progress in this direction, focusing on a family of test
sets with “cylindrical” symmetry that can be defined in any dimension. In three dimensions, these sets have the shape of a barrel. They are particularly
interesting because they exhibit geometric features known to play a key role in discrepancy theory: flat regions, curved regions, and corners. Joint work with
Luca Brandolini and Alessandro Monguzzi.

En 1999, Wen Chao Lu a donné une démonstration par l’analyse réelle du théorème des nombres premiers avec terme d’erreur, “à epsilon près” celui obtenu un siècle auparavant par La Vallée Poussin au moyen de l’analyse complexe. En 2024, Gozé a, dans sa thèse, donné une version quantitative de ce résultat.

Dans un travail en cours avec Gozé et Bruno Martin, nous reprenons les démonstrations de Lu et Gozé, et tentons d’en dégager les idées essentielles. L’exposé présentera sous une forme simple certaines d’entre elles.

Résumé

I will explain how equations of Classical Mechanics, defined from Poisson structures, can emerge from Quantum Mechanics. This is done via self-consistency equations, which in turn imply an extended quantum dynamics. This situation generically appears for quantum systems with long-range interactions, as in the so-called BCS theory of (conventional) superconductivity.

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à€ l’aide d’exemples je discuterai la notion habituelle de super espace de Hilbert et représentation super unitaire et je montrerai que ces notions ne permettent pas de dire qu’en général une représentation régulière d’un super groupe de Lie est super unitaire. Par contre, en élargissant la notion de super espace de Hilbert (et en adaptant la définition de représentation super unitaire), je montrerai qu’on peut remédier la situation. Je ferai un maximum d’effort pour que l’exposé soit compréhensible pour les non-spécialistes (quitte à  que les spécialistes resteront un peu sur leur faim).

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J.-H. Lambert (Mulhouse 1728 – Berlin 1777) est un des fondateurs de la géométrie non euclidienne. Il a aussi découvert une propriété étrange et utile du mouvement képlérien dans un espace euclidien. Le temps requis pour atteindre un point B à  partir d’un point A avec une énergie donnée, sous l’attraction Newtonienne d’une masse située en un point fixe O, ne varie pas si l’on déplace continà»ment A et B de telle sorte que la distance AB et la somme OA+OB restent constantes. P. Serret (1827–1898) et W. Killing (1847–1923) ont introduit le problème de Kepler sur les espaces à  courbure constante et ont donné une liste impressionnante d’analogies avec le problème de Kepler habituel. Ici nous complétons cette liste en démontrant que le temps requis pour atteindre un point B à  partir d’un point A avec une énergie donnée, sous l’attraction d’une masse située en un point fixe O de l’espace courbe, avec une énergie donnée, ne varie pas quand on déplace A et B de telle sorte que d(A,B) et d(O,A)+d(O,B) restent constants, o๠d désigne la distance géodésique. Nous discuterons aussi le cas des espaces pseudo-riemanniens à  courbure constante. Nous utilisons essentiellement les formules bien connues du calcul variationnel que Hamilton a introduites en 1834, et une propriété simple du vecteur excentricité. Ce travail est en collaboration avec Zhao Lei, de l’Université d’Augsbourg.

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In joint work with Yves Benoist, we study the action of the affine group $G$ of $mathbb{R}^d$ on the affine Grassmannian $X_{k,, d}$, that is, the set of affine $k$-spaces in $mathbb{R}^d$. When $G$ is endowed with a Zariski-dense probability measure, we give a criterion for the existence of an invariant probability measure. Such a measure, if it exists, is unique.

An identity that relates the Fourier transform of a complex power of homogeneous polynomial functions on a real vector space with a complex power of homogenous polynomial functions on the dual vector space is called a local functional equation. A rich source of polynomials satisfying local functional equations is the theory of prehomogeneous vector spaces. Almost all known examples of local functional equations are of this type. However recently local functional equations of non- prehomogeneous type are found. In this talk we present new examples of non-prehomogeneous polynomials satisfying a local functional equation. More precisely we prove a local functional equation for the polarization of an arbitrary homaloidal polynomial, and calculate the associated b-function identities explicitly.