Motivé par ses travaux et ceux de Behrend dans les années 30 concernant les ensembles primitifs d’entiers, Erdős conjectura en 1948 que si $\mathcal{A}$ est un ensemble dénombrable de réels $>1$, tel que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{\log x}\sum _{\alpha \le x,\alpha \in \mathcal{A}}\frac{1}{\alpha }>0$, alors pour tout $\epsilon >0$, il existe une infinité de triplets $(\alpha ,\beta ,n)\in {\mathcal{A}}^2\times \mathbb{N}$ tels que $\alpha \ne \beta$ et $|n\alpha -\beta |<\epsilon .$ Très peu de temps avant sa mort en 1996, il avait offert 500$ pour la résolution de ce problème de nature diophantienne.

Dans cet exposé, je présenterai un travail récent, en collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos et Jared Lichtman, où l’on démontre cette conjecture.

En se laissant guider par l’exemple des ensembles de Sidon (ensembles de nombres dont les sommes de deux éléments sont uniques, très étudiés en combinatoire additive), je présenterai des résultats récents, en collaboration avec R. Riblet, où des techniques de théorie des ensembles permettent de construire des ensembles “grands” en certains sens (cardinalité, mesure ou dimension) tout en étant “épars” car évitant des configurations prescrites (pas de relation linéaire, ou ne contenant pas de parallélogramme, etc.). Des questions subtiles en lien avec l’axiome du choix seront évoquées.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

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Je revois d’abord des résultats sur les isomorphismes d’algèbres de groupes, isométriques (notamment le théorème de Wendel sur $L^1$) et presque isométriques (Kalton et Wood). Ces résultats ont leur analogues duaux pour les algèbres de Fourier et de Fourier-Stieltjes, y compris mon travail en commun avec Jean Roydor (Bordeaux). Ensuite je parlerai des isomorphismes d’algèbres $L^p$ à  poids, d’après un travail commun avec Safoura Zadeh (Varsovie). Il paraît que tout isomorphisme isométrique ou bipositif de ces algèbres a une forme canonique qui s’exprime par un isomorphisme des groupes en question. Pour des isomorphismes presque isométriques, on obtient des résultats dans certains cas classiques, en appliquant la théorie d’opérateurs de composition sur des espaces de fonctions analytiques.

Résumé

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