We study the large-time $\ell^p$ behavior of transition densities of an isotropic random walk in homogeneous trees, which are infinite, connected, acyclic graphs in which every vertex has the same degree, and can be thought as discrete counterparts of hyperbolic space. Caloric functions of interest are then convolutions of these transition densities with a finitely supported initial condition, and we are interested in their large time behavior in $\ell^p$ norm.

For each $p \in [1, \infty]$, we introduce a notion of a $p$-mass function and prove that caloric functions with compactly supported initial data, asymptotically decouple as the product of this mass function the transition density. Using tools of Fourier analysis available on such graphs, we show that this function even boils down to a constant, still depending on $p$, if the initial condition is radial, that is, depends only on the distance to the origin. Determining the spatial concentration of the densities in $p$-norm plays an important role, in turn clarifying the interplay between the exponential volume growth of the graph and heat diffusion. The results extend to affine buildings, even exotic ones beyond the Bruhat–Tits framework.

Joint work with B. Trojan.

En mécanique quantique, le principe d’incertitude d’Heisenberg stipule qu’on ne peut connaître simultanément avec précision la position et la vitesse d’une particule. Cette célèbre inégalité relie en réalité une fonction et sa transformée de Fourier.
En 1989, motivés par des applications en traitement du signal, Donoho et Stark donnent un nouveau principe d’incertitude, non plus pour des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ mais sur un groupe abélien fini. Ce dernier a ensuite été significativement amélioré : en 2006, Tao prouve ce qu’on appelle un principe d’incertitude fort pour des fonctions définies sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, où $p$ est premier. Plus récemment, en 2021, Garcia, Karaali et Katz généralisent ce principe aux corps finis, pour des fonctions vérifiant une certaine condition de symétrie qu’on détaillera.
Dans cet exposé, on présentera une généralisation du principe d’incertitude fort pour des groupes abéliens finis quelconques. Nous verrons à quel point ce dernier est restrictif, et nous décrirons les cas pour lesquels il est vérifié. Enfin, nous terminerons avec une application en combinatoire additive, plus précisément un théorème de type Cauchy-Davenport sur les corps finis.
Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Angelot Behajaina.

The discrepancy of a distribution of $N$ points in the torus $T^d$ with respect to a given family of test sets measures how far the points are from being uniformly distributed over that family. When the family consists of all translates of a fixed set, one can consider the $L^2$-average of the discrepancy over translations and use Fourier analytical methods to understand its size. Sharp lower bounds for such $L^2$ discrepancy in terms of $N$ are known for wide classes of sets in $T^2$, but much less is known in higher dimensions. In this talk, I will report on recent progress in this direction, focusing on a family of test
sets with “cylindrical” symmetry that can be defined in any dimension. In three dimensions, these sets have the shape of a barrel. They are particularly
interesting because they exhibit geometric features known to play a key role in discrepancy theory: flat regions, curved regions, and corners. Joint work with
Luca Brandolini and Alessandro Monguzzi.

En 1999, Wen Chao Lu a donné une démonstration par l’analyse réelle du théorème des nombres premiers avec terme d’erreur, “à epsilon près” celui obtenu un siècle auparavant par La Vallée Poussin au moyen de l’analyse complexe. En 2024, Gozé a, dans sa thèse, donné une version quantitative de ce résultat.

Dans un travail en cours avec Gozé et Bruno Martin, nous reprenons les démonstrations de Lu et Gozé, et tentons d’en dégager les idées essentielles. L’exposé présentera sous une forme simple certaines d’entre elles.

In this talk, I first review the method of layer potentials, with the emphasis on the double layer potential operator (also called Neumann-Poincar ́e operator) associated to the Laplace operator and a domain. Then I show that layer potential groupoids for conical domains constructed in an earlier paper (Carvalho-Qiao, Central European J. Math., 2013) are Fredholm groupoids, which enables us to deal with many analysis problems on singular spaces in a unified treatment. As an application, we obtain Fredholm criteria for operators on layer potential groupoids. This is joint with Catarina Carvalho.

In this talk I will present some recent results for the resolvent norm of linear operators and their implication for the pseudospectrum of matrices. In the presentation I restrict myself to matrices, even though most statements also hold, at least locally, for a certain class of closed linear operators on a separable Hilbert space. As the main theorem we have that for any point in the resolvent set there are directions in which the norm grows at least quadratically in the distance from this point. Besides others this directly implies the well-known fact that level sets of the resolvent norm cannot have interior points. Moreover, I will show how the main theorem can be used to construct a finite polygonal contour inside the pseudospectrum linking a given arbitrary point in the pseudospectrum to an eigenvalue of the matrix. This talk is based on joint work with H. Cornean, H. Garde and A. Jensen.

La première partie de cet exposé constituera une introduction aux groupoïdes, en particulier ceux possédant une structure lisse : les groupoïdes de Lie. Nous verrons comment ceux-ci apparaissent naturellement dans l’étude des équations différentielles sur des variétés “singulières”. Je présenterai notamment l’exemple d’une variété possédant une singularité conique isolée, ainsi que le groupoïde qui lui est associé.

La première partie de cet exposé constituera une introduction aux groupoïdes, en particulier ceux possédant une structure lisse : les groupoïdes de Lie. Nous verrons comment ceux-ci apparaissent naturellement dans l’étude des équations différentielles sur des variétés “singulières”. Je présenterai notamment l’exemple d’une variété possédant une singularité conique isolée, ainsi que le groupoïde qui lui est associé.

Clifford qaudratic forms (abbreviated by CQF) were introduced in [T. Kogiso and F. Sato, J. Math. Sci. , Univ. Tokyo, 23 (2016), 791–866] as examples of non-prehomogeous type plynomials which satisfy local functional equations. In this talk, I introduce the following applications and properties of CQFs. CQFs are counter examples of Etingof , Kahzdan and Polishachuk’s problem (2002) of homaloidal polynomials. LFE of polarization of CQF keeps non-prehomogeneity. Certain phenomena suggesting the relationship between CQF and some class of Clifford Klein forms introduced by Kobayashi and Yoshino.

Categorified principal bundles are bundles whose fibres are Lie groupoids, on which a monoidal Lie groupoid (“Lie 2-group”) acts. They are global, geometric representatives of Giraud’s non-abelian cohomology. I will talk about connections on categorified principal bundles; these realize the Breen-Messing differential refinement of non-abelian cohomology. I will explain a mechanism of parallel transport, which goes very nicely with the fibrewise Lie groupoid structure. For example, the parallel transport along a path is a Morita equivalence between the fibres over its end points.

Résumé

L’analyse de Fourier sur un fibré vectoriel homogène au-dessus d’un espace symétrique G/K, et donc l’analyse spectrale d’opérateurs différentiels naturels comme le Laplacien des formes différentielles ou l’opérateur de Dirac, découle de la théorie des représentations du groupe de Lie G. Dans cet exposé j’expliquerai ce lien dans un cadre assez général et je l’illustrerai par l’exemple des espaces hyperboliques et de leurs quotients par des sous-groupes discrets, pour lesquels il est possible d’avoir des résultats assez explicites.