We study the large-time $\ell^p$ behavior of transition densities of an isotropic random walk in homogeneous trees, which are infinite, connected, acyclic graphs in which every vertex has the same degree, and can be thought as discrete counterparts of hyperbolic space. Caloric functions of interest are then convolutions of these transition densities with a finitely supported initial condition, and we are interested in their large time behavior in $\ell^p$ norm.

For each $p \in [1, \infty]$, we introduce a notion of a $p$-mass function and prove that caloric functions with compactly supported initial data, asymptotically decouple as the product of this mass function the transition density. Using tools of Fourier analysis available on such graphs, we show that this function even boils down to a constant, still depending on $p$, if the initial condition is radial, that is, depends only on the distance to the origin. Determining the spatial concentration of the densities in $p$-norm plays an important role, in turn clarifying the interplay between the exponential volume growth of the graph and heat diffusion. The results extend to affine buildings, even exotic ones beyond the Bruhat–Tits framework.

Joint work with B. Trojan.

En mécanique quantique, le principe d’incertitude d’Heisenberg stipule qu’on ne peut connaître simultanément avec précision la position et la vitesse d’une particule. Cette célèbre inégalité relie en réalité une fonction et sa transformée de Fourier.
En 1989, motivés par des applications en traitement du signal, Donoho et Stark donnent un nouveau principe d’incertitude, non plus pour des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ mais sur un groupe abélien fini. Ce dernier a ensuite été significativement amélioré : en 2006, Tao prouve ce qu’on appelle un principe d’incertitude fort pour des fonctions définies sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, où $p$ est premier. Plus récemment, en 2021, Garcia, Karaali et Katz généralisent ce principe aux corps finis, pour des fonctions vérifiant une certaine condition de symétrie qu’on détaillera.
Dans cet exposé, on présentera une généralisation du principe d’incertitude fort pour des groupes abéliens finis quelconques. Nous verrons à quel point ce dernier est restrictif, et nous décrirons les cas pour lesquels il est vérifié. Enfin, nous terminerons avec une application en combinatoire additive, plus précisément un théorème de type Cauchy-Davenport sur les corps finis.
Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Angelot Behajaina.

The discrepancy of a distribution of $N$ points in the torus $T^d$ with respect to a given family of test sets measures how far the points are from being uniformly distributed over that family. When the family consists of all translates of a fixed set, one can consider the $L^2$-average of the discrepancy over translations and use Fourier analytical methods to understand its size. Sharp lower bounds for such $L^2$ discrepancy in terms of $N$ are known for wide classes of sets in $T^2$, but much less is known in higher dimensions. In this talk, I will report on recent progress in this direction, focusing on a family of test
sets with “cylindrical” symmetry that can be defined in any dimension. In three dimensions, these sets have the shape of a barrel. They are particularly
interesting because they exhibit geometric features known to play a key role in discrepancy theory: flat regions, curved regions, and corners. Joint work with
Luca Brandolini and Alessandro Monguzzi.

En 1999, Wen Chao Lu a donné une démonstration par l’analyse réelle du théorème des nombres premiers avec terme d’erreur, “à epsilon près” celui obtenu un siècle auparavant par La Vallée Poussin au moyen de l’analyse complexe. En 2024, Gozé a, dans sa thèse, donné une version quantitative de ce résultat.

Dans un travail en cours avec Gozé et Bruno Martin, nous reprenons les démonstrations de Lu et Gozé, et tentons d’en dégager les idées essentielles. L’exposé présentera sous une forme simple certaines d’entre elles.

En 1982, Baum et Connes ont conjecturé que l’application d’assemblage est un isomorphisme. Dans cet exposé, nous verrons comment construire cette application dans le cas d’un espace coarse. Plus précisément, on fixe un groupe discret G agissant proprement sur un espace coarse X et on définit une application de la K-homologie équivariante à  supports G-compacts de X vers la K-théorie de l’algèbre réduite de G. Nous définirons la notion d’espace coarse ainsi que les algèbres de Roe qui sont des C*-algèbres qui encodent la structure coarse. Nous rappellerons le théorème de Voiculescu et la dualité de Paschke qui sont deux notions indispensables dans la construction de l’application d’assemblage.

En 1982, Baum et Connes ont conjecturé que l’application d’assemblage est un isomorphisme. Dans cet exposé, nous verrons comment construire cette application dans le cas d’un espace coarse. Plus précisément, on fixe un groupe discret G agissant proprement sur un espace coarse X et on définit une application de la K-homologie équivariante à  supports G-compacts de X vers la K-théorie de l’algèbre réduite de G. Nous définirons la notion d’espace coarse ainsi que les algèbres de Roe qui sont des C*-algèbres qui encodent la structure coarse. Nous rappellerons le théorème de Voiculescu et la dualité de Paschke qui sont deux notions indispensables dans la construction de l’application d’assemblage.

https://iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

En 1982, Baum et Connes ont conjecturé que l’application d’assemblage est un isomorphisme. Dans cet exposé, nous verrons comment construire cette application dans le cas d’un espace coarse. Plus précisément, on fixe un groupe discret G agissant proprement sur un espace coarse X et on définit une application de la K-homologie équivariante à  supports G-compacts de X vers la K-théorie de l’algèbre réduite de G. Nous définirons la notion d’espace coarse ainsi que les algèbres de Roe qui sont des C*-algèbres qui encodent la structure coarse. Nous rappellerons le théorème de Voiculescu et la dualité de Paschke qui sont deux notions indispensables dans la construction de l’application d’assemblage.

Nous rappellerons certains résultats classiques (Ricci, Calabi, Lawson) concernant l’existence et l’unicité d’immersions isométriques à  courbure moyenne constante d’une surface riemannienne dans une variété riemannienne de dimension 3 à  courbure moyenne constante. Nous nous intéresserons ensuite à  des extensions de ces résultats dans d’autres variétés riemanniennes homogènes de dimension 3.

Résumé

https://iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

Les frises de nombres sont des constructions algébriques introduites et étudiées par Coxeter au début des années 70. Coxeter établit des propriétés étonnantes en lien avec des objets classiques de la théorie des nombres ou encore de la géométrie projective. Les frises connaissent un regain d’intérêt ces dernières années dà» à  des connections avec la théorie des algèbres amassées de Fomin-Zelevinsky. Dans cet exposé on présentera les frises de Coxeter et leurs généralisations, et l’on expliquera comment les espaces de frises s’identifient avec des espaces de modules de points dans les espaces projectifs. On s’intéressera plus particulièrement au cas des frises symplectiques et des configurations Lagrangiennes de points.