We study the large-time $\ell^p$ behavior of transition densities of an isotropic random walk in homogeneous trees, which are infinite, connected, acyclic graphs in which every vertex has the same degree, and can be thought as discrete counterparts of hyperbolic space. Caloric functions of interest are then convolutions of these transition densities with a finitely supported initial condition, and we are interested in their large time behavior in $\ell^p$ norm.

For each $p \in [1, \infty]$, we introduce a notion of a $p$-mass function and prove that caloric functions with compactly supported initial data, asymptotically decouple as the product of this mass function the transition density. Using tools of Fourier analysis available on such graphs, we show that this function even boils down to a constant, still depending on $p$, if the initial condition is radial, that is, depends only on the distance to the origin. Determining the spatial concentration of the densities in $p$-norm plays an important role, in turn clarifying the interplay between the exponential volume growth of the graph and heat diffusion. The results extend to affine buildings, even exotic ones beyond the Bruhat–Tits framework.

Joint work with B. Trojan.

En mécanique quantique, le principe d’incertitude d’Heisenberg stipule qu’on ne peut connaître simultanément avec précision la position et la vitesse d’une particule. Cette célèbre inégalité relie en réalité une fonction et sa transformée de Fourier.
En 1989, motivés par des applications en traitement du signal, Donoho et Stark donnent un nouveau principe d’incertitude, non plus pour des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ mais sur un groupe abélien fini. Ce dernier a ensuite été significativement amélioré : en 2006, Tao prouve ce qu’on appelle un principe d’incertitude fort pour des fonctions définies sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, où $p$ est premier. Plus récemment, en 2021, Garcia, Karaali et Katz généralisent ce principe aux corps finis, pour des fonctions vérifiant une certaine condition de symétrie qu’on détaillera.
Dans cet exposé, on présentera une généralisation du principe d’incertitude fort pour des groupes abéliens finis quelconques. Nous verrons à quel point ce dernier est restrictif, et nous décrirons les cas pour lesquels il est vérifié. Enfin, nous terminerons avec une application en combinatoire additive, plus précisément un théorème de type Cauchy-Davenport sur les corps finis.
Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Angelot Behajaina.

The discrepancy of a distribution of $N$ points in the torus $T^d$ with respect to a given family of test sets measures how far the points are from being uniformly distributed over that family. When the family consists of all translates of a fixed set, one can consider the $L^2$-average of the discrepancy over translations and use Fourier analytical methods to understand its size. Sharp lower bounds for such $L^2$ discrepancy in terms of $N$ are known for wide classes of sets in $T^2$, but much less is known in higher dimensions. In this talk, I will report on recent progress in this direction, focusing on a family of test
sets with “cylindrical” symmetry that can be defined in any dimension. In three dimensions, these sets have the shape of a barrel. They are particularly
interesting because they exhibit geometric features known to play a key role in discrepancy theory: flat regions, curved regions, and corners. Joint work with
Luca Brandolini and Alessandro Monguzzi.

En 1999, Wen Chao Lu a donné une démonstration par l’analyse réelle du théorème des nombres premiers avec terme d’erreur, “à epsilon près” celui obtenu un siècle auparavant par La Vallée Poussin au moyen de l’analyse complexe. En 2024, Gozé a, dans sa thèse, donné une version quantitative de ce résultat.

Dans un travail en cours avec Gozé et Bruno Martin, nous reprenons les démonstrations de Lu et Gozé, et tentons d’en dégager les idées essentielles. L’exposé présentera sous une forme simple certaines d’entre elles.

www.iecl.univ-lorraine.fr/~Khalid.Koufany/SL2R2020/programme.html

https://iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

https://iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

Résumé

Résumé

Brascamp–Lieb inequalities are multilinear integral inequalities, classically set in Euclidean spaces, in which the functions involved possess symmetries that can be described via annihilation by translation invariant vector fields. With this point of view in mind, in this seminar I will present a general strategy to obtain inequalities of Brascamp–Lieb type on compact homogeneous spaces of Lie groups. The proof relies on a monotonicity property of the heat flow. In particular, I will focus on the case of real spheres, where the obtained inequalities are seen to be sharp for certain choices of symmetries.

Le but de cet exposé est d’introduire une classe indice pour les opérateurs longitudinaux G-transversalement elliptiques. Je commencerai par rappeler la définition de l’indice d’un opérateur elliptique G-invariant sur une variété compacte et le théorème de l’indice d’Atiyah-Singer. Ensuite j’introduirai la définition de la classe indice pour un opérateur G-transversalement elliptique introduite par Atiyah et celle pour les familles d’opérateurs G-transversalement elliptiques introduite dans ma thèse. Je discuterai dans le même temps les différents axiomes vérifiés par ces classes indices. Je terminerai avec les derniers résultats obtenus en collaboration avec Moulay Benameur, dans le cadre des feuilletages.

Quantum groups have been defined in the analytical/topological setting by Woronowicz in the 1980s. In this talk, we will give a brief introduction to these objects and see how they can be used for describing quantum symmetries. We will discuss some examples arising from so called “easy” quantum groups or quantum automorphism groups of finite graphs. Some ongoing research project on de Finetti type theorems with Isabelle Baraquin (Metz) will be mentioned as well.