Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers dans l’intervalle $[1,x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ?  La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: \[\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}\quad(x\to \infty).\]
La démonstration de Hadamard et La Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdős et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique des démonstrations élémentaires du théorème des nombres premiers puis nous donnerons une version effective du théorème des nombres premiers de Lu qui, à ce jour, donne le meilleur terme d’erreur en utilisant des méthodes élémentaires.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (“powered numbers”). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

Résumé

La description quantique et relativiste des particules élémentaires a rapproché de manière considérable les notions de force et de matière. Les deux sont décrites en termes de champs; ce qui les distingue est le spin: entier pour la force, demi-entier pour la matière. Dans le second cas, la limite classique nécessite de travailler dans une catégorie de supervariétés. Dans cet exposé, nous commencerons par définir l’extension naturelle de la mécanique classique d’une particule aux supervariétés, puis nous procéderons à  sa quantification. La mécanique quantique supersymétrique ainsi obtenue fournit un cadre naturel qui permet d’établir, ne serait-ce qu’à  un niveau heuristique, la formule de Atiyah-Singer donnant l’indice de l’opérateur de Dirac. Après une brève discussion des notions requises, nous tenterons de présenter les arguments, remontant à  Witten, qui mènent à  la formule de l’indice, en se basant sur la localisation d’une intégrale de chemin dans la supervariété des lacets.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

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In this talk, I will explain a joint work with Carey, Rennie and Sukochev, where we prove a local index formula for non-unital semi-finite spectral triples. Coverings of manifolds of bounded geometry, group actions on $C^*$-algebras, Moyal plane, provide examples.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

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En 1982, Baum et Connes ont conjecturé que l’application d’assemblage est un isomorphisme. Dans cet exposé, nous verrons comment construire cette application dans le cas d’un espace coarse. Plus précisément, on fixe un groupe discret G agissant proprement sur un espace coarse X et on définit une application de la K-homologie équivariante à  supports G-compacts de X vers la K-théorie de l’algèbre réduite de G. Nous définirons la notion d’espace coarse ainsi que les algèbres de Roe qui sont des C*-algèbres qui encodent la structure coarse. Nous rappellerons le théorème de Voiculescu et la dualité de Paschke qui sont deux notions indispensables dans la construction de l’application d’assemblage.