Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers dans l’intervalle $[1,x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ?  La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: \[\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}\quad(x\to \infty).\]
La démonstration de Hadamard et La Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdős et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique des démonstrations élémentaires du théorème des nombres premiers puis nous donnerons une version effective du théorème des nombres premiers de Lu qui, à ce jour, donne le meilleur terme d’erreur en utilisant des méthodes élémentaires.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (“powered numbers”). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

Résumé

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Dans ces exposés, nous étudierons la convergence de marches aléatoires, sur les groupes quantiques finis de Sekine, définies à  partir de combinaisons linéaires des caractères irréductibles. Après avoir présenté les différents objets, nous utiliserons la théorie quantique de Diaconis et Shahshahani, introduite par McCarthy, pour borner la distance à  l’état de Haar. Nous réaliserons ensuite une classification des comportements asymptotiques en déterminant, s’il existe, l’état limite.

(Joint work with T.Benoist, R. Raquépas) Since Kurchan’s seminal work (2000), two-time measurement statistics (also known as full counting statistics) has been shown to have an important theoretical role in the context of quantum statistical mechanics, as they allow for an extension of the celebrated fluctuation relation to the quantum setting. In this contribution, we consider heat two-time measurement statistics for a locally perturbed system. We translate the problem into the analysis of the spectral measure of an auxiliary operator (a perturbed Liouvillean), which allow us to tackle consider infinitely extended reservoir. Through the analysis of this spectral measure momenta, we show heat fluctuation description differs considerably form its classical counterpart, in particular a crucial role is played by ultraviolet regularity conditions. For bounded perturbations, we give sufficient ultraviolet regularity conditions on the perturbation for the moments of the heat variation to be uniformly bounded in time, and for the Fourier transform of the heat variation distribution to be analytic and uniformly bounded in time in a complex neighborhood of 0. On a set of canonical examples, with bounded and unbounded perturbations, we show that our ultraviolet conditions are essentially necessary. If the form factor of the perturbation does not meet our assumptions, the heat variation distribution exhibits heavy tails. The tails can be as heavy as preventing the existence of a fourth moment of the heat variation. This phenomenon has no classical analogue.

Dans ces exposés, nous étudierons la convergence de marches aléatoires, sur les groupes quantiques finis de Sekine, définies à  partir de combinaisons linéaires des caractères irréductibles. Après avoir présenté les différents objets, nous utiliserons la théorie quantique de Diaconis et Shahshahani, introduite par McCarthy, pour borner la distance à  l’état de Haar. Nous réaliserons ensuite une classification des comportements asymptotiques en déterminant, s’il existe, l’état limite.