La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

Pour toute paire duale réductive et irréductible (G, G’) dans Sp(W), R. Howe a démontré qu’il existait un isomorphisme entre les espaces R(G) et R(G’), o๠R(G) est l’ensemble des classes d’equivalences de representations irréductibles admissibles de tilde{G} pouvant se réaliser comme un quotient de la représentation métaplectique. Dans les années 2000, T. Przebinda a introduit l’intégrale de Cauchy-Harish-Chandra et conjecturé que le transfert des caractères dans la correspondance devrait être obtenu via cette intégrale. Si l’un des membres est compact ou si la paire duale (G, G’) est dans le “rang stable”, cette conjecture a été prouvée. Dans mon exposé, je vais m’intéresser au cas o๠G et G’ sont deux groupes unitaires de même rang, et prouver cette conjecture dans le cas o๠la representation de tilde{G} considérée est une série discrète.

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La quantification par déformation d’une théorie de champs se fait en deux étapes, d’abord pour une théorie libre à  partir de la structure de Poisson donnée par le crochet de Peierls associé au propagateur de Wightmann, ensuite pour la théorie en intéraction avec une ultérieur déformation associée au propagateur de Feynman, qui produit des ambiguités gérées par le groupe de renormalisation. Chaque étape de ce programme nécessite l’étude des fonctionnelles pouvant être déformées, compliquée par l’apparition de distributions singulières avec fronts d’ondes plus au moins adaptés aux opérations réquises. Les travaux en pAQFT dans les années 1990 et 2000 décrivent ces étapes de façon rigoureuse et complète (cf. K. Fredenhagen, M. Duetsch, R. Brunetti, S. Hollands, R.M. Wald, K. Rejzner, C. Brouder, N.V. Dang, Y. Dabrowski, etc). Avec C. Brouder, B. Fauser et R. Oeckl, nous avons montré en 2004 que si on se restreint à  des fonctionnelles régulières (et on oublie donc les problèmes analytiques), ces déformations coincident avec celles purement algébriques d’une structure de Hopf-comodule sur les fonctionnels, obtenues à  l’aide de deux couplages de Laplace définis par les propagateurs (et qui remplecent donc les crochets de Poisson dans le cadre des déformations d’algèbres de Hopf à  la Drinfeld ou à  la Majid). Les premiers résultats étaient complètement formels, et ils ont été précisés au sens géometrique par R. Borcherds en 2011, et complétés au sens algébrique et analytique par E. Herscovich en 2017. Dans cet exposé, je présente les grandes lignes de ce point de vue.

Résumé

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Let (X=G/K) be a noncompact complex Grassmann manifold of rank (r). Let (tau_l) be a character of (K), and (Ktimes_M{C}) the homogeneous line bundle associated with (tau_{l_{mid M}}). We give an image characterization for the Poisson transform (P_{lambda,l}) of (L^2)-sections of (Ktimes_M{C}). More precisely, for real and regular spectral parameter (lambda) in (mathfrak{a}^ast) we prove that (P_{lambda,l}) is an isomorphism from (L^2(Ktimes_M{C})) onto a space of joint eigensections (F) of the algebra of (G)-invariant differential operators on (Gtimes_K{C}) that satisfy (displaystylesup_{R>1}frac{1}{R^r}int_{B(R)}mid F(g)mid^2, {rm d}g<infty.) This generalizes a conjecture by Strichartz which corresponds to (tau_l) trivial.\