La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

Je commencerai par rappeller la définition des groupoïdes de Fredholm (une classe de groupoïdes pour lesquels on a une bonne caractérisation des opérateurs de Fredholm dans le calcul pseudodifférentiel qu’il engendre). Le but de l’exposé est de montrer qu’un tel groupoïde peut être caractérisé par ses réductions: plus précisément, un groupoïde $G$ est Fredholm si, et seulement si, toutes ses réductions $G_U^U$ sur des ouverts $U$ sont des groupoïdes de Fredholm. Comme résultat intermédiaire intéressant, on verra qu’on peut écrire le spectre primitif d’un groupoïde comme l’union des spectres de ses réductions sur des ouverts.

Résumé

Dans ce travail en collaboration avec Guoliang Yu, nous définissons pour une famille d’espaces métriques finies des estimations quantitatives pour les applications d’assemblages. Nous relions ces estimations à  la conjecture de Novikov. En application, nous donnons une preuve de la conjecture de Novikov pour les groupes à  complexité de décomposition finie.

Je commencerai par quelques mots sur l’espace des idéaux primitifs d’une C*-algèbre. Puis, j’introduirai différentes familles de morphismes utiles pour caractériser le spectre des éléments d’une C*-algèbre, en particulier les familles exhaustives. Lorsqu’on veut montrer qu’une famille de morphismes est exhaustive, il est nécessaire de bien connaitre l’espace des idéaux primitifs. En m’appuyant sur les résultats de Williams, je donnerai une description de l’espace des idéaux primitifs lorsque la C*-algèbre est issue d’un produit croisé pour lequel le C* système dynamique associé a de bonnes propriétés topologiques. Grâce à  cette description, on peut construire facilement une famille exhaustive.

Résumé

Le besoin croissant de composants électroniques plus petits a récemment suscité l’intérêt pour l’étude de la théorie de la conductivité classique à  l’échelle atomique o๠les effets quantiques devraient dominer. En 2012, les mesures expérimentales de la résistance électrique de fils en Silicium (Si) dopés aux atomes de phosphore ont démontré que les effets quantiques sur le transport de charge disparaissent presque pour des fils de longueur supérieure à  quelques nanomètres. Et ceci même à  très basse température (4,2 K). Nous démontrons mathématiquement que, dans le cas de fermions non soumis à  une interaction (free-fermions) évoluant sur un réseau cristallin (avec désordre), l’incertitude quantique de la densité de courant électrique microscopique autour de leurs valeurs macroscopiques (classiques) décroit de manière exponentiellement par rapport au volume de la région du réseau o๠le champ électrique est appliqué. Ceci est en accord avec l’observation expérimentale ci-dessus. Le désordre au sein du réseau est modélisé par un potentiel externe aléatoire avec des amplitudes aléatoires et à  valeurs complexes. Le célèbre “Anderson tight-binding model” est un exemple particulier du cas considéré ici. Notre analyse mathématique est basée sur les estimations de Combes-Thomas (1973), le théorème ergodique d’Akcoglu-Krengel et le formalisme des grandes déviations, en particulier le théorème de Gärtner-Ellis.

The category of weakly complete vector spaces is dual to the category of abstract vector spaces. This fact which is itself easy to verify allows to transfer problems from topological algebra to abstract algebra and vice versa. In this talk, I will explain how to use this duality to analyze unit groups of weakly complete algebras and how to construct the coresponding left adjoint functor, which assigns to each topological group in a natural way a weakly complete algebra, generalizing the group algebra for finite groups. This project is joint work with K. H. Hofmann and S. Morris.

Je commencerai par un survol de la théorie de la fonction zêta de Riemann et de son importance en théorie des nombres. Je présenterai ensuite une sélection des avancées majeures concernant les zéros et l’ordre de grandeur de la fonction zêta. Je terminerai par des résultats récents concernant la répartition de ses valeurs dans la bande critique, obtenus en partie en collaboration avec Steve Lester et Maksym Radziwill.

Je commencerai par quelques mots sur l’espace des idéaux primitifs d’une C*-algèbre. Puis, j’introduirai différentes familles de morphismes utiles pour caractériser le spectre des éléments d’une C*-algèbre, en particulier les familles exhaustives. Lorsqu’on veut montrer qu’une famille de morphismes est exhaustive, il est nécessaire de bien connaitre l’espace des idéaux primitifs. En m’appuyant sur les résultats de Williams, je donnerai une description de l’espace des idéaux primitifs lorsque la C*-algèbre est issue d’un produit croisé pour lequel le C* système dynamique associé a de bonnes propriétés topologiques. Grâce à  cette description, on peut construire facilement une famille exhaustive.

A Lie algebra with a non-degenerate invariant symmetric bilinear form will be called a nis-Lie algebra. The double extension of a Lie (super)algebra with a homogenous non-degenerate symmetric invariant bilinear form is the result of simultaneously adding to it a central element and an outer derivation so that the larger algebra is also nis. We consider double extensions of Lie superalgebras in characteristic 2, and concentrate on peculiarities of these notions related with the possibility for the bilinear form and the derivation to be odd. Two Lie superalgebras have been discovered by this method indigenous to the characteristic 2 case.