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Dans ces deux exposés, je parlerai de trois conjectures de Pólya qui sont toujours ouvertes.
Les deux premières sont très connues et concernent les valeurs propres du Laplacien, la 3ème est beaucoup
moins connue et est dans le domaine de la géométrie convexe.
Je présenterai des avancées récentes sur ces trois conjectures faisant appel à des techniques très différentes

De nombreuses applications en traitement d’images (débruitage, segmentation), en science des données (lissage de nuages de points, associations de formes), en sciences des matériaux (évolution des grains dans les alliages, croissance des cristaux) ou en biologie (modélisation cellulaire) nécessitent l’approximation de l’évolution d’interfaces géométriques telles que l’emblématique mouvement par courbure moyenne.
Dans ce contexte, la méthode des champs de phase est un outil particulièrement efficace pour approcher
l’évolution des surfaces orientées, mais les choses se révèlent beaucoup plus difficiles pour les surfaces non orientées.
Dans cet exposé, nous expliquerons comment approcher de telles évolutions en entraînant des réseaux de neurones dont les structures dérivent des schémas classiques de discrétisation de l’équation d’Allen Cahn.
Des applications numériques aux problèmes de Steiner et de Plateau seront aussi proposées.

Titre : Diffusion de sphères dans un milieu aléatoire et le phénomène de déplétion qui en résulte. Ou encore: comment les beignets s’agitent-ils dans une friteuse ?

Résumé : Nous considérons une dynamique spatiale de sphères dures s’entrechoquant avec les petites particules du milieu dans lequel elles se meuvent. Un phénomène surprenant – connu en physico-chimie comme une déplétion – apparait: le milieu ambiant induit une attraction à courte portée entre les sphères dures. Quand la densité du milieu augmente, les sphères ont alors tendance à former un certain type d’amas. Lesquels?

Le but de cet exposé est de montrer comment une dynamique probabiliste permet d’approcher le problème classique (et difficile) suivant de géométrie discrète:
identifier les empilements dans Rd de n sphères identiques qui maximisent le nombre de leurs points de contact.
Nous expliquerons les modèles aléatoires en jeu et illustrerons notre propos par de nombreux croquis et par des simulations.

Les résultats présentés sont le fruit d’une collaboration avec Myriam Fradon (Lille), Julian Kern et Alexander Zass (Berlin).