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Dans ce groupe de travail, nous présenterons une approche simple du théorème de Butcher  qui donne une condition permettant de vérifier l’ordre d’un potentiel schéma de Runge-Kutta de résolution numérique d’équations différentielles. Cet exposé est un prétexte pour présenter comment l’introduction d’arbres, suivant l’approche proposée par Cayley, permet d’aborder la question de façon algébrique à l’aide de notations compactes. Bien que cet exposé soit non probabiliste, il touche à des objets de nature combinatoire, mais aussi à l’analyse rugueuse et et aux méthodes numériques des équations différentielles stochastiques.

Une triangulation est un modèle de surface discrète consistant à recoller un nombre fini de triangles le long de leurs côtés de manière à obtenir une surface. Dans le cas planaire (i.e. quand la surface doit avoir la topologie de la sphère), l’étude de triangulations aléatoires repose sur des résultats de comptage exacts obtenus par Tutte dans les années 60.

En revanche, pour des surfaces avec « beaucoup de trous », de tels résultats exacts ne sont plus disponibles. Le but de l’exposé sera de donner une idée des techniques développées pour étudier des triangulations aléatoires de grand genre malgré le manque de résultats combinatoires précis. On verra en particulier que parfois, les résultats probabilistes permettent même d’obtenir en retour des estimées combinatoires. L’exposé sera basé sur des travaux en commun avec Baptiste Louf et Guillaume Chapuy, et j’évoquerai des résultats récents de Tanguy Lions.