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Nous présenterons un travail en cours avec Daniel Greb et Mihai Pavel, visant à construire en toute généralité un espace de modules de faisceaux semi-stables sur des variétés kählériennes compactes. Des espaces de modules analogues ont été construits lorsque la variété de base est projective, en utilisant la théorie géométrique des invariants de Mumford. Un tel outil global n’étant pas disponible dans notre cadre, nous adoptons une approche « locale » consistant à recoller des modèles locaux ; pour la construction de ces derniers on démontre d’abord l’existence de déformations semi-universelles équivariantes des faisceaux cohérents analytiques. Comme corollaire de nos résultats, nous obtenons des espaces de modules similaires sur des surfaces K3 kählériennes et des tores complexes de dimension deux, comparables à ceux qui apparaissent dans les exemples sporadiques de variétés holomorphes symplectiques irréductibles décrits par O’Grady dans le cas projectif.

The Willmore energy is a classical (almost) conformal invariant measuring the complexity of an immersion.  Its critical points are called Willmore surfaces and can be understood as elasticas generalizing minimal surfaces in any of the three conformal models. In this talk, we will angle our study through the tool of the Conformal Gauss Map. This application into a de Sitter space offers a natural link between harmonic surfaces in a Lorentz context and Willmore surfaces, and allows one to turn many non linear aspects of Willmore studies, into Lorentzian linear ones, with one key issues: it breaks down at umbilic points. An approach of these singularities through a Gauss-Bonnet formula will allow us to recover links between the Willmore energy and the Conformal/Renormalized volumes.