Groupe de travail des doctorants

Journée conviviale d’exposés mathématiques pour les doctorants de l’IECL.

Programme :

Matin :

• 8h50 : Café d’accueil ;
• 9h20 : Karim Ramdani : Edition scientifique : un rapide survol des évolutions en cours ;
• 10h15 : Rodolphe Abou Assali : The Biharmonic Steklov Operator ;
• 10h55 : Pause ;
• 11h25 : Jérémy Dousselin : Arithmetic: from elementary statements to complex tools ;
• 12h15 : Pause repas

Après-midi :

• 14h : Aurélien Minguella : A brief introduction to stochastic partial differential equations ;
• 15h : Nathan Toumi : The level of distribution of the sum-of-digits function in arithmetic progressions ;
• 15h40 : Pause ;
• 16h10 : Valentin Schwinte : A minimization problem in the lowest Landau level, and centrosymmetric matrices ;
• 17h10 : Fin de la journée

This paper investigates the convergence time of log-linear learning to an $\epsilon$-efficient Nash equilibrium (NE) in potential games. In such games, an efficient NE is defined as the maximizer of the potential function. Previous literature provides asymptotic convergence rates to efficient Nash equilibria, and existing finite-time rates are limited to potential games with further assumptions such as the interchangeability of players. In this paper, we prove the first finite-time convergence to an $\epsilon$-efficient NE in general potential games. Our bounds depend polynomially on $1/\epsilon$, an improvement over previous bounds that are exponential in $1/\epsilon$ and only hold for subclasses of potential games. We then strengthen our convergence result in two directions: first, we show that a variant of log-linear learning that requires a factor $A$ less feedback on the utility per round enjoys a similar convergence time; second, we demonstrate the robustness of our convergence guarantee if log-linear learning is subject to small perturbations such as alterations in the learning rule or noise-corrupted utilities.

This work addresses the application of self-insurance in networks, where the network’s edges represent insured subjects facing losses. Each edge undertakes preventive efforts that influence the loss distribution, modeled as random variables. Insurance coverage is proportional, and a law-invariant coherent risk measure is considered to assess the network’s total risk. Furthermore, the work analyzes how preventive efforts impact the insurance cost and risk minimization. An optimization problem is proposed to determine the optimal levels of coverage and preventive effort, considering losses distributed according to a Pareto distribution. Through numerical techniques, specific cases, including global and local efforts, are studied to evaluate the model’s behavior in different scenarios.

Cet exposé discute de quelques résultats originaux qui ne sont généralement pas enseignés dans un cursus classique du Supérieur en Mathématiques. Il s’agit en effet du lemme de Wielandt (1949), du théorème de Kleinecke-Shirokov (1957-1956) et du théorème de Fulglede-Putnam-Rosenblum (1950-1951-1958). Provenant historiquement de la théorie des algèbres d’opérateurs, il est en fait naturel de les traduire dans le langage des algèbres de Banach dont leur père, le mathématicien soviétique I. M. Gelfand, a démontré entre 1939 et 1941 la complémentarité singulière qui s’exprime entre algèbre et analyse.

C’est cette complémentarité qui est réaffirmée ici. Ces résultats gravitent tous autour de la notion de (non)-commutativité qui est le cœur de la mécanique quantique et de la théorie des opérateurs. Plusieurs démonstrations du théorème de Wielandt sont proposées dont l’une avec l’aide du théorème de Kleinecke-Shirokov. Les résultats ci-dessus sont mis en lumière par quelques réflexions dans l’algèbre $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ des matrices carrées et par des questions personnelles sur les propriétés d’un couple $(a,b)$ d’éléments dans certaines $\mathbb{C}$-algèbres contraint à satisfaire une relation du type $[a,b]=\alpha a, ~ \alpha \in \mathbb{C}^*$. L’exposé est enrichi de remarques historiques et contextuelles sur la théorie des algèbres de Banach et des opérateurs.

Barycentres conditionnels de Wasserstein pour modéliser l’effet des conditions expérimentales sur la dégradation de batteries

Les performances des batteries électriques se dégradent au cours du temps. C’est le cas par exemple de la quantité d’énergie stockée qui diminue au cours du temps. Un enjeu important pour les constructeurs de batteries est de modéliser la dégradation caractéristique d’un nouveau modèle de batterie afin d’évaluer sa valeur.

Dans une présentation précédente, lors de la journée des doctorants, nous avions présenté des méthodes à base processus gaussiens pour modéliser la dégradation des batteries sous une condition de référence. Cela fournis un premier outil mais est souvent insuffisant en pratique. En effet, la dégradation des batteries dépend fortement de ses conditions d’utilisation, la température ambiante, le courant de charge ou de décharge… Nous avons donc besoin d’une méthode capable de prédire la dégradation en fonction des conditions expérimentales, et ce même pour des conditions jamais observées.

Face aux difficultés rencontrées à modéliser l’effet des conditions avec les méthodes utilisées précédemment, nous proposons une autre approche reposant sur la théorie du transport optimal. Dans cette présentation nous prendrons le temps d’introduire les éléments essentiels du transport optimal (problème de Monge, Kantorovitch …). Puis nous introduirons l’idée plus récente du barycentre conditionnel de Wassertein comme de méthode de régression lorsque les sorties sont des distributions de probabilités. La régression Fréchet, un type particulier de barycentre conditionnel, sera utilisée pour modéliser l’effet de la température sur le vieillissement des batteries.

Absorption d’un mouvement brownien réfléchi

Après avoir défini le mouvement brownien, j’essayerai de motiver l’étude d’une de ses très nombreuses généralisations : le mouvement brownien réfléchi (RBM) dans un cône. Nous verrons que ce processus est assez bien décrit par un petit jeu de paramètres. Nous discuterons en particulier de méthodes utiles au calcul de la probabilité qu’un RBM soit absorbé au sommet du cône. Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Sandro Franceschi.

How cancer evolution can be modelled ? An example of a toy model giving insights on such evolutionary process.

Lors d’une palpitante partie de Qui-Est-Ce et des enjeux qu’une glorieuse victoire peut y représenter, il paraît fondamental d’y établir des stratégies solides : Quelles sont les questions qui optimisent nos chances de gagner ? Nous aborderons cette question sous le prisme de la théorie de l’information. Plus précisément, nous aborderons la notion d’entropie et en exhiberons quelques propriétés fondamentales pour mieux la cerner. Nous en profiterons pour introduire l’entropie relative, aussi appelée divergence de Kullback-Leibler, et présenter quelques résultats qui la font intervenir, notamment dans la théorie des grandes déviations avec le théorème de Sanov.