Groupe de travail des doctorants

Dans cet exposé, je considérerai une équation cinétique collisionnelle qui dégénère en une équation de diffusion fractionnaire quand le nombre de Knudsen tend vers 0.
Cette limite est obtenue en considérant des particules dont l’équilibre est une fonction à décroissance polynomiale.

La classification de Killing-Cartan des algèbres de Lie complexes (semi-)simples implique aussi celle des algèbres de Lie réelles (semi-)simples ;
cependant ces dernières sont plus nombreuses.
Notamment il y a toujours une forme déployée ainsi qu’une forme compacte associées à chaque famille.
Après cette première partie, on va étudier la notion de graduation d’une algèbre de Lie, ainsi que deux graduations spécifiques :
les s-représentations et les graduations de Heisenberg.
Ces deux exemples permettent de construire bien explicitement la forme déployée et compacte d’une algèbre de Lie.

Lors de mon dernier exposé, j’avais présenté le théorème de dualité de Howe.
Ce dernier met en évidence une correspondance entre certaines représentations associées à une paire duale irréductible
(tilde{G}, tilde{G^{‘}}) dans le groupe métapléctique. Le but de cet exposé est d’obtenir une formule du caractère
pour les représentations pi^{‘} de tilde{G^{‘}} qui apparaissent dans la dualité dans le cas où le groupe tilde{G} est compact.
Pour cela, on commencera par quelques rappels assez généraux concernant la théorie des groupes de Lie compacts et de leurs représentations.
Ensuite, je présenterai la généralisation de la notion de caractère (en dimension infinie) établie par Harish-Chandra dans le milieu des années 50.
Je terminerai cette présentation par une détermination explicite des caractères dans la correspondance de Howe en utilisant les différents outils
vus précédemment.

Nous présenterons le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, puis le formalisme, développé par Souriau, de la mécanique symplectique. La fin de l’exposé visera à introduire la mécanique quantique, via un exemple, et en insistant sur l’aspect historique.

La recherche en climatologie et en océanographie a conduit à résoudre des EDP de plus en plus complexes sur des domaines de plus en plus variés.
Un domaine de calcul naturel est celui de la sphère.
Nous proposons dans cet exposé une méthode basée sur les différences finies sur un maillage de type Cube-Sphère.
Nous verrons comment construire le maillage Cube-Sphère et comment sont calculées les dérivées.
L’ensemble sera utilisé pour le calcul du gradient sphérique.
Pour illustrer cela dans un cadre plus concret et si le temps nous le permet,
nous illustrerons ce calcul avec deux tests : le BUMP mobile et le vortex stationnaire.

La géométrie asymptotique, ou « coarse geometry », se propose d’étudier les propriétés à grande échelle des espaces métriques.
Nous présenterons dans cet exposé comment l’introduction de techniques asymptotiques en K-théorie amène à de nouvelles preuves
de la conjecture de Baum-Connes coarse pour de nouvelles classes de groupes, et de nouvelles preuves de la conjecture de Novikov.

La recherche en climatologie et en océanographie à conduit à résoudre des EDP de plus en plus complexes
sur des domaines de plus en plus variés. Un domaine d’approximation qui semble naturel est celui de la sphère.
Nous proposons dans cet exposé une méthode de calcul basée sur les différences finies sur un maillage de type
Cube-Sphère. Après un rapide aperçu de quelques maillages possibles, nous verrons comment construire le maillage
Cube-Sphère. Puis nous calculerons le gradient sur ce maillage. De manière à illustrer ces calculs, nous résoudrons
l’équation de transport à l’aide d’une méthode de Runge-Kutta en temps filtrée en espace. Si le temps le permet,
nous présenterons les résultats numériques associésà deux test : Le corps solide en rotation autour de la sphère
et le vortex stationnaire.

Le but de cet exposé est de déterminer « explicitement » le dual unitaire d’un groupe de Lie compact.
Pour cela, on commencera par quelques rappels assez généraux concernant les groupes de Lie, les algèbre de Lie,
la mesure de Haar … On verra que si le groupe de Lie G est compact, alors son algèbre de Lie est réductive,
et que ceci est un des points de départ pour la compréhension du dual unitaire (on expliquera au préalable
pourquoi on est peut être amené à s’intéresser aux représentations de l’algèbre de Lie de G). On appliquera
cela dans un cas explicite, à savoir pour G = SU(2). Si le temps le permet, on fera une ouverture sur les
représentations des groupes de Lie non compacts, en parlant par exemple de la notion de (J,K)-modules.

La théorie des représentations a été introduite vers la fin de XIXe siècle par le mathématicien allemand
Frobenius, motivé par une lettre de Dedekind. Cette théorie a connu un développement considérable depuis,
et vouloir essayer de résumer cette dernière relèverait de la folie. Le but des présentations que je vais
faire est de donner quelques idées sur ce qui peut se faire, et mettre en avant certains des nombreux
problèmes qu’il reste actuellement au sein de cette magnifique théorie. Pour cette première présentation,
je commencerai par rappeler les fondamentaux de la théorie des représentations linéaires des groupes finis.
Ensuite, on étudiera ensemble un exemple très intéressant, à savoir le groupe symétrique. Le but étant de
déterminer explicitement le dual unitaire dans ce cas. Si le temps le permet, je conclurai par une présentation
très rapide de la dualité de Schur-Weyl, ce qui nous permettra de voir un exemple où les représentations du
groupe symétrique apparaissent explicitement.