Séminaire EDP, Analyse et Applications | Metz

I will present the Palindromic Discontinuous Galerkin (PDG) method. The PDG method is a general implicit (but matrix-free) high order method for approximating systems of conservation laws. It relies on a kinetic interpretation of the conservation laws containing stiff relaxation terms. The kinetic system is approximated with an asymptotic-preserving high order DG method. I will also describe the parallel implementation of the method, based on the StarPU runtime library, and some applications to fluid mechanics and plasma physics

Let $Ngeq 2$ and $Omegasubseteq mathbb{R}^N$ denote a domain containing the origin $0$. In this talk, we present recent gradient estimates for the positive solutions $uin C^2(Omegasetminus{0})$ of nonlinear elliptic equations such as $$ {rm div} (|x|^{sigma}|nabla u|^{p-2} nabla u)= |x|^{-tau} u^q |nabla u|^m quad mathrm{in } Omega setminus { 0 }. $$ We assume throughout that $m,p,q,sigma$ and $tau$ are real parameters satisfying $p in ]1,N+sigma]$ and $min{k,ell,m,q}in ]0,+infty[$, where $k:=m+q-p+1$ and $ell:=q+1-sigma-tau $. This is joint work with Joshua Ching (The University of Sydney).

In this talk, we shall present some homogenization results, obtained via the periodic unfolding method, for thermal diffusion problems in a highly heterogeneous periodic composite material formed by two constituents, separated by an imperfect interface where the temperature and the flux exhibit jumps. Depending on the geometry of the composite medium, on the properties of its two constituents and on the magnitude of the jump of the solution and of the flux across the imperfect interface, various types of problems arise at the macroscale. These problems capture in various ways the influence of the jumps: in the effective coefficients, in the right-hand side of the homogenized problem, and in the correctors, as well. Joint work with Renata Bunoiu (Université de Lorraine – Metz, France)

We consider a domain which has the form of a brush in 3D or the form of a comb in 2D, i.e. an open set which is composed of cylindrical vertical teeth distributed over a fixed basis. All the teeth have a similar fixed height; their cross sections can vary from one teeth to another one and are not supposed to be smooth; moreover the teeth can be adjacent, i.e. they can share parts of their boundaries. The diameter of every tooth is supposed to be less than or equal to epsilon, and the asymptotic volume fraction of the teeth (as epsilon tends to zero) is supposed to be bounded from below away from zero, but no periodicity is assumed on the distribution of the teeth. In this domain we study the asymptotic behavior, as epsilon tends to zero, of the solution of a second order elliptic equation with a zeroth order term which is bounded from below away from zero, when the homogeneous Neumann boundary condition is imposed on the whole of the boundary. First, we revisit the problem where the source term belongs to L2. This is a classical problem, but our homogenization result takes place in a geometry which is more general that the ones which have been considered before. Moreover we prove a corrector result which is new. Then, we study the case where the source term belongs to L1. Working in the framework of renormalized solutions and introducing a definition of renormalized solutions for degenerate elliptic equations where only the vertical derivative is involved (such a definition is new), we identify the limit problem and prove a corrector result. This is joint work with Olivier Guibé (Université de Rouen, France) and Francois Murat (CNRS, Université Pierre et Marie Curie, Paris VI, France).

Nous présenterons divers résultats concernant la modélisation probabiliste de phénomènes de diffusion dans des milieux comportant des interfaces (barrières perméables et semi-perméables par exemple) qui peuvent être dues à des discontinuités de la diffusivité. Bien que les processus de diffusion s’interprètent naturellement comme des particules qui se déplacent aléatoirement dans le milieu, les interfaces présentent des difficultés de modélisation. Nous finirons par quelques méthodes probabilistes de type Monte Carlo spécifiques à ces problèmes ainsi que les problèmes encore ouverts.

On considère des matériaux électromagnétiques qui sont tels que, dans une certaine gamme de fréquences, la permittivité diélectrique a une partie imaginaire faible et une partie réelle négative. Ceci se produit par exemple dans les métaux tels que l’argent, aux fréquences optiques. Pour de tels matériaux, les coins sont le lieu de phénomènes singuliers très surprenants. En particulier, une partie de l’énergie des ondes peut être capturée par le coin, donnant lieu à un phénomène dit de trou noir. Dans cette présentation, nous proposons une analyse mathématique de ce phénomène dans le cas bidimensionnel, reposant sur une description détaillée des singularités de coins pour l’équation de Helmholtz avec des coefficients changeant de signe. Nous montrons que ces équations peuvent être mal posées dans le cadre fonctionnel usuel, puis nous proposons et justifions un nouveau cadre, incluant des fonctions singulières hyper-oscillantes, dans lequel le caractère bien posé peut être rétabli. Sur le plan numérique, nous nous intéressons à l’approximation de la solution par éléments finis. Dans les configurations sans phénomène de trou noir, nous montrons qu’il suffit d’imposer certaines règles de maillage au voisinage des coins pour assurer la convergence de la méthode. En revanche, ceci n’est pas suffisant en présence d’ondes de trou noir hyper-oscillantes. La solution que nous avons trouvée est alors d’utiliser des PML (Perfectly Matched Layers) au voisinage des coins. Ces approches sont validées par différents résultats numériques.

On s’intéresse à la question de prolongement unique suivante : l’observation de l’intensité d’une onde sur un petit sous-domaine pendant un intervalle de temps détermine t-elle l’énergie totale de l’onde ? Résolu dans un cadre analytique par le célèbre théorème de Holmgren-John (1949), ce problème resta ouvert dans le cadre général jusqu’aux travaux de Tataru-Robbiano-Zuily-Hörmander (1995-1998). Dans cet exposé, on donnera l’estimée de stabilité optimale associée à ces résultats. Ce faisant, on répondra aussi à la question suivante : quelle est l’intensité de l’onde que l’on perçoit dans l’ombre d’un obstacle ? On en déduira enfin le coût de la contrôlabilité approchée de l’équation des ondes, c’est à dire, la taille d’un contrôle qui, agissant localement sur l’onde, peut amener l’état dans un epsilon voisinage d’une cible fixée. Il s’agit un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Dans cet exposé, nous étudierons une classe de systèmes d’équations de Schrödinger couplées dans $R^n$ tout entier. Je discuterai une notion de solutions d’énergie finie pour ces systèmes et je présenterai des résultats d’estimation a priori et de symétrie sur ces solutions.

This talk deals with the control and regulation by integral controllers for the nonlinear systems governed by scalar quasi-linear hyperbolic partial differential equations. Both the control input and the measured output are located on the boundary. The closed-loop stabilization of the linearized model with the designed integral controller is proved first by using the method of spectral analysis and then by the Lyapunov direct method. Based on the elaborated Lyapunov function we prove local exponential stability of the nonlinear closed-loop system with the same controller. The output regulation to the set-point with zero static error by the integral controller is shown upon the nonlinear system.

Le problème de la restauration/complétion d’images (images inpainting) est un problème classique d’analyse et traitement d’images. Il consiste à Â  chercher à Â  restaurer une image dont une partie est endommagée ou perdue de manière « raisonnable » et « satisfaisante ». Il existe une multitude de méhodes pour répondre au problème, parmi lesquelles, les méthodes variationnelles des EDPs qui ont rencontré un franc succès essentiellement dans la restauration de la géométrie (par opposition aux textures). Une difficulté centrale dans ce domaine et de restaurer des arêtes, des coins (ensembles singuliers) et de respecter les courbures. Difficulté qui ne peut s’exprimer qu’à  l’aide de modèles (fortement) nonlinéaires. L’exposé traitera de ces méthodes basées sur les EDPs et montrera que des modèles simples (linéaires) construits de manière adaptative permettent de traiter cette difficulté et d’obtenir, au sens de la Gamma-convergence, des modèles sophistiqués « mesurant » ces ensembles singuliers.