Séminaire EDP, Analyse et Applications | Metz

Dans cet exposé, nous présenterons les schémas de bi-projection récemment développés pour la discrétisation en temps des équations de Navier-Stokes incompressibles isothermes avec une rhéologie visco-plastique (Bingham, Drucker-Prager). La difficulté principale, tant du point de vue de l’analyse mathématique que de l’approximation numérique, est due à  la non-différentiabilité de la partie plastique du tenseur des contraintes dans les régions de l’espace o๠le tenseur des déformations est nul. Une formulation basée sur une réécriture de la définition de la partie plastique du tenseur en terme d’une projection est utilisée. Un nouveau schéma de semi-discrétisation en temps, basé sur un schéma de projection incrémental classique pour les équations de Navier-Stokes dans le cas des fluides newtoniens, est proposé. Le tenseur plastique est traité en implicite dans l’étape de prédiction du schéma de projection et un algorithme de point fixe est utilisé pour son évaluation. Un terme de pseudo-relaxation temporel est ajouté dans la projection de Bingham afin d’assurer une convergence rapide (géométrique) du point fixe. Des analyses de stabilité et d’erreurs du schéma numérique ont été obtenues dans un premier travail dans le cas d’écoulements homogènes puis étendues au cas d’écoulements à  densité, viscosité et seuil de plasticité variables. Des résultats numériques d’écoulements dans une cavité entraînée 2D ainsi que d’instabilités de Rayleigh-Taylor seront présentés afin de montrer l’efficacité de la méthode de bi-projection. Enfin, des applications à  des écoulements géophysiques seront discutées.

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Reaction-diffusion processes occur in many materials with microstructure such as biological cells, steel or concrete. The main difficulty in modelling and simulating accurately such processes is to account for the fine microstructure of the material. One method of upscaling multiscale problems, which has proven reliable for obtaining feasible macroscopic models rigorously, is the method of periodic homogenisation. The correct scaling of certain terms of the system with powers of the homogenisation parameter is an aspect particularly relevant in this context. The scaling arises from geometrical considerations or from the processes themselves. Depending on the particular choice of these scaling powers, different limit behaviours are obtained leading to different systems of equations in the homogenisation limit. This will first be discussed in the context of a reaction-diffusion system given in a two-component medium coupled by a Robin condition at the internal interface. The analogous vector-valued problem models two elastic materials coupled by a slip-displacement condition, which will be the focus of the second part of the talk.

L’objectif de cet exposé est de présenter des questions ouvertes en théorie du contrôle, et plus spécifiquement des questions de contrôlabilité en temps arbitrairement petit d’équations aux dérivées partielles non linéaires. Nous ferons un survol des récents résultats obtenus avec la méthode du retour pour l’équation de Navier-Stokes et expliquerons les difficultés liées à  l’application de cette méthode à  d’autres EDP non linéaires. Nous introduirons ensuite le concept d’intégrabilité de systèmes dynamiques (EDO ou EDP) et nous présenterons une application à  la contrôlabilité

Résumé

We study Sobolev estimates for the solutions of parabolic equations acting on a vector bundle, in a complete, compact or non compact, riemannian manifold $M$. The idea is to introduce geometric weights on $M$. We get global Sobolev estimates with these weights. As applications, we find and improve « classical results », i.e. results without weights, by use of a Theorem by Hebey and Herzlich. As an example we get Sobolev estimates for the solutions of the heat equation on $p$-forms when the manifold has « weak bounded geometry  » of order $1$.

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La méthode LS-STAG est une méthode cartésienne pour le calcul d’écoulements incompressibles en géométries complexes, qui propose une discrétisation précise des équations de Navier-Stokes dans les cut-cells, cellules polyédriques de forme complexe créées par l’intersection du maillage cartésien avec la frontière du solide immergé. Originalement développée pour les géométries 2D, o๠seuls trois types de cut-cells génériques sont présents, son extension aux géométries 3D se heurte au défi posé par le grand nombre de types de cut-cells (108) à  considérer. Cet exposé présentera une discrétisation plus précise du gradient dans les termes diffusifs de Navier-Stokes, à  l’aide du schéma diamant, ainsi que l’extension aux géométries 3D complètes par l’élaboration d’une formule générique de discrétisation spatiale dans les cut-cells, indépendante de la forme de celles-ci.

Dans cet exposé, je présenterai le lien entre l’existence d’une inégalité de type Lebeau-Robbiano pour un opérateur autoadjoint à  résolvante compacte, et le contrôle impulsionnel de l’équation parabolique associée. Je présenterai ensuite une construction d’une loi de feedback donnant un résultat de stabilisation en temps fini. C’est un travail en collaboration avec Kim Dang Phung.

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