Séminaire EDP, Analyse et Applications | Metz

In this talk, we review recent results on so-called partially dissipative hyperbolic systems. Such systems model physical phenomena with degenerate dissipative terms and appear in many applications. For example, in gas dynamics where the mass is conserved during the evolution, but the momentum balance includes a diffusion (viscosity) or a damping (relaxation) term.

First, using tools from the hypocoercivity theory and precise frequency decompositions, we derive sharp stability estimates for linear systems satisfying the Kalman rank condition. This linear analysis allows us to establish new global-in-time existence and large-time behaviour results in a critical regularity framework for nonlinear systems.

Then, we interpret partially dissipative systems as hyperbolic approximations of parabolic systems, in the context of the paradox of infinite speed of propagation. In particular, we focus on a hyperbolic approximation of the multi-dimensional compressible Navier-Stokes-Fourier system and establish its hyperbolic-parabolic strong relaxation limit.

In this talk, I will discuss the spectral analysis of the Robin Laplacian on a smooth bounded two-dimensional domain in the presence of a constant magnetic field. In the semi-classical limit, I will explain how to get a uniform description of the spectrum located between the Landau levels. The corresponding eigenfunctions, called edge states, are exponentially localized near the boundary. By means of a microlocal dimensional reduction, I will explain how to derive a very precise Weyl law, and also how to simultaneously refine old results about the low-lying eigenvalues in the Robin case and recent ones about edge states in the Dirichlet case.

In this talk, we discuss the self-adjointness in $L^2$-setting of the operators acting as $-\mathrm{div}\cdot h\nabla$, with piecewise constant functions $h$ having a jump along a Lipschitz hypersurface $\Sigma$, without explicit assumptions on the sign of $h$. We establish a number of sufficient conditions for the selfadjointness of the operator with $H^{\frac{3}{2}}$-regularity in terms of the jump value and the regularity and geometric properties of $\Sigma$. An important intermediate step is a link with Fredholm properties of the NeumannPoincaré operator on $\Sigma$, which is new for the Lipschitz setting.

Based on joint work with Konstantin Pankrashkin.

L’exposé se veut un résumé de mes travaux de thèse, qui portent une attention particulière aux schémas de Boltzmann sur réseau. Cette classe de schémas est utilisée depuis la fin des années ’80, en particulier en mécanique des fluides, et se caractérise par sa grande rapidité. Cependant, les méthodes de Boltzmann sur réseau sont très gourmandes en termes d’espace mémoire et conçues pour des maillages Cartésiens uniformes. De plus, nous manquons d’outils théoriques généraux qui permettent d’en analyser la consistance, la stabilité et enfin la convergence. Le travail s’articule autour de deux axes principaux.
Le premier consiste à proposer une stratégie permettant d’appliquer les méthodes de Boltzmann sur réseau à des grilles de calcul non-uniformes adaptées dynamiquement en temps, afin de réduire le coût de calcul et de stockage. Le fait de pouvoir contrôler l’erreur commise et d’être en mesure d’employer la méthode quelque soit le schéma de Boltzmann sous-jacent sont des contraintes supplémentaires à prendre en compte. Pour cela, nous proposons d’adapter dynamiquement le réseau ainsi que d’ajuster toute méthode de Boltzmann à des maillages non-uniformes en nous appuyant sur la multirésolution. Cela a permis de proposer un cadre innovant pour des maillages mobiles en respectant les contraintes posées.
Le second axe de recherche consiste à donner un cadre mathématiquement rigoureux aux méthodes de Boltzmann sur réseau, lié en particulier à leur consistance vis-à-vis des EDPs visées, leur stabilité et donc leur convergence. Pour cela, nous proposons une procédure, basée sur des résultats d’algèbre, pour éliminer les moments non-conservés de n’importe quel schéma de Boltzmann sur réseau, en le transformant en un schéma aux différences finies multi-pas sur les moments conservés. Les notions de consistance et stabilité pertinentes pour les méthodes de Boltzmann sur réseau sont donc celles des schémas aux différences finies. En particulier, tous les résultats concernant ces derniers, entre autres le théorème de Lax, se transpose naturellement aux schémas de Boltzmann sur réseau. Une étape ultérieure consiste à étudier la consistance et la stabilité directement sur le schéma de départ sans devoir calculer sa méthode aux différences finies « correspondante ». Cela permet d’en obtenir les équations modifiées et de montrer le bien-fondé des analyses de stabilité à la von Neumann couramment utilisées au sein de la communauté.

This talk concerns the (generalized) Soler model: a nonlinear (massive) Dirac equation with a nonlinearity taking the form of a space-dependent mass. The equation admits standing wave solutions and they are generally expected to be stable (i.e., small perturbations in the initial conditions stay small) based on numerical simulations. However, contrarily to the nonlinear Schrödinger equation for example, there are very few results in this direction. The results that I will discuss concern the simpler question of spectral stability (and instability), i.e., the absence (or presence) of exponentially growing solutions to the linearized equation around a solitary wave. As in the case of the nonlinear Schrödinger equation, this is equivalent to the presence or absence of « unstable eigenvalues » of a non-selfadjoint operator with a particular block structure. I will highlight the differences and similarities with the Schrödinger case, present some results for the one-dimensional case, and discuss open problems.

This is joint work with Danko Aldunate, Edgardo Stockmeyer, and Hanne Van Den Bosch.

This talk explores the intriguing realm of scattering resonances within two-dimensional transparent cavities, which arose in the modeling of micro-resonators constructed from dielectric materials (with positive permittivity) or metallic nanoparticles (with negative permittivity). Specifically, our investigation is focused on resonances that closely align with the real axis, characterized by highly oscillatory behavior and localization along the interface separating the cavity from its external environment. Notable exemplars of such resonances include whispering-gallery modes observed in dielectric cavities and surface plasmon waves associated with metallic particles.

In this talk, we will be interested in the numerical analysis of the Gross-Pitaevskii equation, which governs the evolution of quantum fluids near absolute zero temperature. We will use an explicit splitting scheme for time integration, while relying on a standard Finite Volumes scheme for space discretization. Numerical simulations will also be presented, with a particular emphasis on the analysis of vortex structures which naturally appear in such superfluids.

Nous rappellerons le formalisme Hilbertien de la mécanique quantique avant d’introduire des objets mathématiques spécifiques à la théorie quantique des champs : l’espace de Fock, les opérateurs de création, d’annihilation, de champ.
Nous illustrerons ce formalisme par l’exemple du Hamiltonien de Pauli-Fierz qui décrit un électron en interaction avec un champ de photons.

Je présenterai des résultats sur le comportement en temps long des solutions d’équations cinétiques linéaires dans tout l’espace, où l’opérateur de collision satisfait les lois de conservation physiques (masse, quantité de mouvement et énergie) et les particules sont confinées via un potentiel extérieur. Il s’agit d’un travail en collaboration avec J. Dolbeault, F. Hérau, S. Mischler, C. Mouhot et C. Schmeiser.