Approximation rationnelle des nombres sturmiens

Date/heure
30 septembre 2021
14:30 - 15:30

Lieu
Salle Döblin

Oratrice ou orateur
Yann Bugeaud

Catégorie d'évènement
Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz

Soient $\theta$ et $\rho$ des nombres réels avec $0\le \theta ,\rho <1$ et $\theta$ irrationnel. Pour $n\ge 1$, posons $$s_n:=s_n(\theta ,\rho )=\lfloor n\theta +\rho \rfloor –\lfloor (n-1)\theta +\rho \rfloor$$ Alors, le mot infini $${\mathbf{s}}_{\theta ,\rho }:=s_1{s}_2{s}_3\dots$$ est le mot sturmien (inférieur) de pente $\theta$ et d’intercept $\rho$, écrit sur l’alphabet $\{0,1\}$. Nous explicitons le développement en fraction continue du nombre réel $${\xi }_{b,\theta ,\rho }=(b-1)\sum _{n\ge 1}\frac{s_n(\theta ,\rho )}{b^n}.$$ Cela nous permet d’obtenir une formule donnant son exposant d’irrationalité en fonction de $\theta$ et du développement d’Ostrowski de $\rho$ en base $\theta$. Nous étendons ainsi un résultat classique de Böhmer (1927) qui ne couvre que le cas où $\rho =\theta$ et contient par exemple la surprenante égalité $$\sum _{j\ge 1}\frac{1}{2^{\lfloor j\gamma \rfloor }}=[0;1,2,2,2^2,2^3,2^5,2^8,2^{13},2^{21},\dots ],\gamma =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$ Il s’agit d’un travail en commun avec Michel Laurent.