Dans cet exposé, nous discuterons autour de l’équation du plus bas niveau de Landau, qui apparaît dans de nombreuses situations de la mécanique quantique, telles que la supraconductivité ou les condensats de Bose-Einstein. Nous commencerons par l’étude des propriétés basiques de l’équation : symétries, quantités conservées, existence et unicité d’une solution. Dans le but de mieux comprendre cette équation, nous regarderons de plus près une classe de solutions particulières appelées ‘ondes stationnaires’. Si le temps nous le permet, nous étudierons une conjecture concernant le réseau d’Abrikosov.

Au travers de deux grands problèmes de la Physique et plus généralement de l’Histoire des mathématiques, cet exposé vise à motiver l’étude des opérateurs différentiels. Nous discuterons dans un premier temps de géométrie spectrale en dimension 1 et 2. Il existe en effet un lien entre le nombre de valeurs propres du laplacien et la géométrie du domaine associée à l’équation acoustique d’Helmholtz.

Dans un second temps, nous explorerons la naissance du concept de solution fondamentale d’un opérateur différentiel. Celui-ci suggère deux notions aujourd’hui fondamentales : l’ellipticité et l’hypo-ellipticité.

Enfin, si le temps nous est favorable, nous parlerons du théorème original de Rockland de 1978, lequel dresse un parallèle entre hypo-ellipticité et théories des représentations du groupe d’Heisenberg.

Dans cet exposé je parlerai de percolation, qui est un domaine relativement récent des probabilités discrètes (1957). Étant donné un graphe $G=(V,E)$, une configuration de percolation $\omega$ sur $G$ est un élément de $\{0,1\}^E$, où la valeur $1$ pour une arête $e\in E$ code le fait qu’on considère que cette arête est « ouverte », et la valeur $0$ qu’elle est « fermée ». On peut voir cette configuration comme un sous-graphe de $G$, en conservant les sommets de $G$ et où l’ensemble des arêtes est $\{e\in E~:~ \omega(e)=1\}$. Le choix d’une mesure de probabilité sur l’ensemble des configurations de percolation de $G$ définit un modèle de percolation sur $G$.

La percolation de Bernoulli, modèle qu’on appellera « sans contraintes », sera le premier modèle étudié. Je parlerai de grands résultats qui ont été obtenus, mais également de certaines conjectures qui demeurent sur des graphes relativement simples.

Enfin j’aborderai le cas des modèles dits « avec contraintes », qui constituent le sujet de ma thèse. Mon but sera de faire ressortir les difficultés que peuvent apporter ces contraintes, et de montrer des exemples de façons de les contourner.

La méthode de la signature a été largement utilisée pour l’analyse des séries temporelles multivariées. Cette approche a prouvé son efficacité pour de nombreuses applications  en apprentissage statistique. La définition d’une notion de barycentre dans l’espace des signatures est un premier pas prometteur permettant de développer de nouvelles extensions de l’analyse en composantes principales (ACP) ou de l’algorithme des k-moyennes aux séries temporelles.

Le but de cet exposé est de présenter les différents concepts de base de la géométrie, en particulier de la géométrie complexe. L’objet de base de toute géométrie est la variété (différentielle, algébrique, complexe) qui généralise la notion d’ouvert d’un espace vectoriel. Par exemple, la surface terrestre ressemble localement au plan réel, mais pas dans sa globalité, et la théorie des variétés différentielles va permettre de comprendre cet objet. La géométrie complexe est plus restrictive par ses fonctions sont beaucoup moins nombreuses, mais un exemple qui apparait naturellement l’espace projectif, car il est possible de mettre une structure géométrique sur un ensemble de droites vectorielles. Enfin, les géométries algébrique et analytique complexes entretiennent des liens proches, tout polynôme étant une fonction holomorphe, toute variété algébrique peut-être vue comme une variété complexe. Cependant, les fonctions holomorphes se comportent presque comme des polynômes, il est donc naturel de s’interroger sur une éventuelle réciproque : Dans le cas projectif, la réponse a été donnée par W.L. Chow en 1949.

Résumé à venir

L’homologie persistante est un outil de la théorie simpliciale construit à la fin du XXième siècle et qui s’utilise principalement en Analyse Topologique des Données (TDA) et reconnaissance de forme. L’idée principale est d’extraire un nuage de points d’un objet que l’on souhaite étudier et de transformer ce nuage en un complexe simplicial filtré, en utilisant par exemple la méthode de Vietoris-Rips. Le but de l’homologie persistante est de calculer l’homologie simpliciale du complexe à chaque temps de filtration et d’observer les caractéristiques topologiques qui persistent au cours de la filtration. Cette approche permet d’encoder l’évolution topologique d’un objet à travers une seule structure algébrique. L’homologie persistante a des applications dans de nombreux domaines (en biologie, médecine, astrophysique,…) et dans cet exposé, après avoir défini l’homologie persistante en reprenant les bases de la théorie simpliciale, nous montrerons comment celle-ci peut s’appliquer dans le contexte de l’analyse musicale.

Les variétés de Siegel sont des variétés de Shimura qui paramètrent des variétés abéliennes avec une polarisation. Le premier exemple est la courbe modulaire dont l’importance est cruciale en théorie des nombres : elle intervient dans la preuve du théorème de Fermat-Wiles et plus généralement dans la correspondance de Langlands pour $GL_2$ sur $\mathbb{Q}$. Dans cet exposé, j’introduirai les variétés de Siegel en tant que variétés algébriques sur un corps fini et je décrirai les propriétés géométriques de certains fibrés vectoriels automorphes vivant dessus.

Les opérateurs de Schrödinger sont des incontournables dans la mécanique
quantique. J’exposerai d’abord des motivations physiques de l’étude
spectrale de ces objets. Plusieurs auteurs ont obtenu des bornes en
norme $L^p$ sur les quasi-modes des opérateurs de Schrödinger. On verra
ensuite comment se généralisent de telles estimées à des systèmes
orthonormés de fonctions. L’idée de l’exposé est de donner un avant-goût
des jolis outils sous-jacents.

Résumé à venir

In modern algebraic geometry, the study of moduli spaces plays a central role in the problem of classifying certain geometric objects (e.g., Riemann surfaces, vector bundles), up to a fixed notion of isomorphism. The foremost question arising is whether we can construct a moduli space which, roughly speaking, parametrizes the isomorphism classes of such objects. The moduli space will be endowed with a natural geometric structure, which is often a scheme or an algebraic stack. In this talk we give an introduction in the theory of moduli spaces, with special emphasis on some classical examples: the Grassmannian, the Hilbert scheme, the moduli space of sheaves etc.. We will formulate the moduli problems using the categorical language of representable functors, and introduce the notions of fine and coarse moduli spaces.

Stochastic Approximation is a useful tool for Machine Learning techniques such as Stochastic Gradient Descent. These algorithms are applied to a lot of different fields, improving the transportation times, helping doctors diagnosing with medical images, automatically translating text, detecting spam and more. Most of the time, the model traditionally lies in a vector space. However, some problems present non-linear constraints, that can be translated into a manifold. This framework ensures the conservation of key properties. As an introduction to geometric machine learning, we study the gradient descent algorithm, and its adaptation to Riemannian manifolds. Finally, we compare the performance of the two, introducing new non-asymptotic bounds.