Je ne vois pas l’avenir. Et c’est bien là le souci : les problèmes d’optimisation liés à la prise de décision concernent bien trop souvent des décisions futures.
Optimiser l’espérance mathématique en fonction des événements envisageables ? Encore faut-il en connaître les probabilités.

Nous avons toutefois connaissance du passé. Une approche consiste alors à résoudre, dans un premier temps, le problème empirique construit à partir de ces données. La solution que nous obtiendrons sera-t-elle proche d’une solution optimale pour le problème de départ ? Combien de données sont nécessaires pour réaliser cette approximation ? Nous verrons, dans un premier temps, comment l’optimisation stochastique traite ces questions.

Nous discuterons ensuite des limites du critère de l’espérance, notamment dans les cas où un risque de grande perte est compensé par l’espoir de grands bénéfices. Ces limites motivent l’introduction de mesures de risque comme critère dans les problèmes d’optimisation stochastique. Nous en aborderons, pour finir, une généralisation multivariée et présenterons les premiers résultats associés.

Site web de l’évènement.
Programme du 1er jour – Salle de conférence :

• • 13h30 – 14h15 : Exposé de Benjamin Florentin – IECL
    
    Can one hear the shape of a Steklov drum ?

    Introduced at the beginning of the 20th century, the Steklov eigenvalue problem has attracted growing interest in spectral geometry over the last few decades and remains a major research topic in the field. In this talk, we will focus on the associated spectral inverse problem consisting in recovering a metric of a compact Riemannian manifold with boundary from knowledge of its Steklov spectrum, or equivalently the spectrum of its Dirichlet-to-Neumann map (DN map). In other words, can one hear the shape of a “ Steklov drum ” ? We will present some recent positive results obtained on a certain class of manifolds with negatively curved boundaries.

• • 14h15 – 15h00 : Exposé de Marie Abadie – Université du Luxembourg
    
    Hyperbolic surfaces and graphs

    The goal of this talk is to provide a brief overview of the interactions between hyperbolic surfaces and certain combinatorial objects. A given surface has a large space of hyperbolic metrics, called its Teichmüller space, which itself admits a natural metric, called the Weil-Petersson (WP) metric. Distances between two hyperbolic metrics with respect to this WP metric are hard to compute. We will describe Brock’s combinatorial approach for approximating that distance using the graph of pair-of-pants decompositions.

• • 15h00 – 15h30 : Pause café en salle 113

• • 11h10 – 11h50 : Exposé de Aurélien Minguella – IECL
    
    A brief introduction to stochastic partial differential equations.

    Stochastic partial differential equations (SPDEs) are the mathematical objects used
    to describe the random dynamics of infinite-dimensional objects. They take applications in a
    broad range of areas, from statistical and theoretical physics, to fluid mechanics. These objects
    display very rich mathematical behaviour and have known a gain of interest since Martin Hairer
    was awarded the Fields medal in 2014 for constructing a solution theory for a very broad class
    of parabolic singular equations, namely regularity structures. Staying far away from regularity
    structures, we will try to give a quick overview of some simple SPDEs, but where some
    essential phenomena already arise. Some emphasis will be given on the invariant measures for
    such equations. We will first give a review of basic stochastic calculus and continue with an
    example of a linear SPDE: the stochastic heat equation. If time permits, we will have a glimpse
    of the complications happening in the non-linear case. We will finish with an informal overview
    of the most recent theories and current challenges in the field.

• • 16h15 – 17h00 : Exposé de Alexandre Benoist – Université du Luxembourg
    
    The ternary cyclotomic polynomials $\Phi_{3pq}$

    Cyclotomic polynomials are a classical and fundamental topic in number theory, and still an active field of research. The aim of this talk is introducing results about the coefficients of cyclotomic polynomials. I will first speak about the family of binary cyclotomic polynomials, which is completely understood. Then, I will move on ternary cyclotomic polynomials. I will provide a formula for computing the coefficients of the ternary cyclotomic polynomials of the form $\Phi_{3pq}$, from which we can derive various properties and solve conjectures for this family.

Programme du 2ème jour – Amphi 8 :

• • 9h15 – 10h00 : Exposé de Carl-Fredrik Lidgren – Université du Luxembourg
    
    Reconstructions, complete invariants, and anabelian geometry.

    In topology, a basic invariant of interest is the fundamental group of a topological space. As an invariant, this is useful for distinguishing between two topological spaces, but is in general not useful for determining that two spaces are the same because radically different topological spaces can have the same fundamental group. In algebraic geometry, on the other hand, one can define an arithmetic analogue of the fundamental group, also related to absolute Galois groups in number theory, which turns out to be considerably more rigid. The aim of the talk is to discuss this phenomenon and the area which studies it: anabelian geometry.

• • 10h00 – 10h30 : Pause café, Hall de l’amphi 8

• • 10h30 – 11h15 : Exposé de Vidhi Vidhi – IECL
    
    Statistical approach for quantifying the evolution of tumor heterogeneity in chronic
    lymphocytic leukemia (CLL).

    View Fullscreen

• • 11h15 – 12h00 : Exposé de Tim Seuré – Université du Luxembourg
    
    Balancing Powers

    This talk explores surprising equalities between power sums arising from a
    binary-based partition of the integers.

• • 12h00 – 13h30 : Déjeuner

• • 9h15 – 10h00 : Exposé de Amine Iggidr – IECL
    
    From noise to harmony: Understanding the primes through waves

    Prime numbers appear scattered randomly along the integers, yet their distribution hides some sort of structure. This talk introduces how Fourier analysis ideas reveal periodic components inside the primes. This help us explain classical phenomena such as Chebyshev’s bias and reveal why complex zeros of L-functions govern the oscillations in prime-counting functions. In this talk we trace the historical development from Dirichlet to modern analytic number theory and show how harmonic analysis serves as a powerful tool which helps us understand the secrets of prime numbers.

• • 14h15 – 15h00 : Exposé de Lucia Celli – Université du Luxembourg
    
    Wide neural networks with general weights: convergence rate and explicit dependence on the hyper-parameters.

    Wide fully connected neural networks converge at initialization to a Gaussian process, but quantitative rates are not well understood. I present explicit, non-asymptotic bounds for this convergence in both one- and multi-dimensional settings under general weight assumptions. The results make all dependencies on depth, width, activation, and moments explicit, covering common cases such as ReLU and Gaussian initialization, and clarify when the limiting covariance remains non-degenerate.

• • 15h00 – 15h30 : Pause café, Hall de l’amphi 8

• • 15h30 – 16h15 : Exposé de Hugo Nouaille – IECL
    
    Rough paths: Integration beyond smoothness.

    Almost every theory of integration applies to solving certain ODE or PDE problems. We review some Cauchy problems with Hölder signals and their formulation in integral form. From there, we can observe how the idea of rough paths is motivated. Finally, we will try to provide some intuition about one object of this theory: the rough integral.

• • 16h15 – 17h00 : Exposé de Leolin Nkuete – Université du Luxembourg
    
    Hopf Galois extensions

    It is well known that for any Galois extension L/K one can associate an arithmetic object G:=Gal(L/K) called the Galois group of the extension L/K. This group gives rise to a group algebra H=K[G], which, is in particular a Hopf algebra. We called this group algebra a Hopf Galois structure associated with the extension L/K. The goal of this talk is to explain how this framework can be generalized to non-Galois extensions.

• • 19h30 : Dîner au Grand Café Foy (1 Pl. Stanislas, 54000 Nancy)

Programme du 3ème jour – Amphi 8 :

• • 8h30 – 9h15 : Petit déjeuner, Hall de l’amphi 8

• • 9h15 – 10h00 : Exposé de Simon Bartolacci – IECL
    
    Global Waiting: An Alarm Clock Optimization Perspective.

    What time should I set my alarm tomorrow morning? Like many, I have often
    wondered about this. And like many I first turned to deterministic constrained optimization
    theories, involving Lagrange multipliers and other classical tools. I soon realized that I cannot
    know exactly whether there will be traffic, at what time my colleagues will arrive, or whether I
    might fall back asleep after the first alarm. The optimization problem underlying this question
    is therefore inherently stochastic.
    While I cannot predict the future, I do have empirical knowledge: I frequently oversleep, often
    leave so late that I avoid traffic, and sometimes arrive well after my colleagues. This gives me
    an empirical understanding of phenomena whose laws I do not know. Can optimizing over such
    empirical phenomena lead to a truly optimal alarm time? This is precisely the kind of problem
    studied in stochastic optimization, and this talk will discuss the answer.
    Moreover, focusing solely on expected outcomes is not ideal: my primary concern is not just
    the average timing but reducing the risk of missing critical events, such as the coffee break. By
    incorporating risk measures beyond the expectation, stochastic optimization allows us to design
    alarm strategies that are robust to worst-case scenarios and better aligned with practical
    priorities.

• • 10h30 – 10h30 : Pause café, Hall de l’amphi 8

• • 10h30 – 11h15 : Exposé de Francesca Pistolato – Université du Luxembourg
    
    From Galton board to Fractional Brownian motion.

    In this talk, we will explore how simple experiments can illustrate fundamental ideas in probability. We revisit the Central Limit Theorem through the Galton board and then extend the intuition to fractional Brownian motion, highlighting how randomness can exhibit memory and long-range dependence.

• • 10h30 – 11h15 : Exposé de Kilian Lebreton – IECL
    
    Probabilistic approach to certain sums arising from number theory.

    Kloosterman sums, Gauss sums, Birch sums are examples of families of sums of fonctions \(\varphi : (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \to \mathbb{U}_n \), where \(\mathbb{U}_n \) denotes the set of \(n\)-th roots of unity. They arise naturally in number theory. Once normalized by \(\sqrt{n} \), the complete sums (within their respective families) behave like bounded random variables. From this, we can deduce that their partial sums converge in law to a random Fourier series, that short sums converge to a Gaussian distribution, and that we can estimate the maximum of their partial sums.

Journée conviviale d’exposés mathématiques pour les doctorant.e.s de l’IECL.

Les exposés auront lieu en salle de conférence et les pauses en salle 313.

Programme de la journée :

• • 9h00 – 9h30 : Petit déjeuner

• • 9h30 – 10h10 : Exposé de Sophie Baland
    
    Un modèle de branchement pour la dynamique des longueurs de télomères dans les cellules sanguines.

    Dans les domaines de la biologie et de la médecine, la modélisation mathématique du développement cellulaire reste primordiale à étudier.

    Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux télomères : ces petites structures situées aux extrémités des chromosomes eucaryotes et qui possèdent un rôle de capuchon protecteur permettant de préserver l’intégrité du génome.

    Dans une première partie, j’aborderai la structure et les fonctions des télomères, leur rôle dans les processus de vieillissement ainsi que dans les maladies résultant d’une modification de leur longueur, élément déterminant dans leur bon fonctionnement. De plus, je présenterai brièvement deux mécanismes biologiques : le processus de réplication de l’ADN et l’hématopoïèse, qui est le processus de fabrication des cellules sanguines, afin d’introduire les notions nécessaires à la compréhension d’un modèle décrivant la dynamique des longueurs de télomères.

    Dans une seconde partie, j’introduirai un modèle de branchement, qui va permettre de comprendre le mécanisme de l’hématopoïèse et qui reproduit les comportements des cellules lors de divisions cellulaires, en tenant compte de la longueur de leurs télomères. Il s’agit d’un modèle stochastique d’évolution d’une population de cellules et de leurs chromosomes, faisant intervenir plusieurs facteurs tels que l’attrition télomérique, l’action de la télomérase, les phénomènes d’autorenouvellement, de différenciation, et de mort cellulaire. Je présenterai ensuite deux résultats : le premier, appelé loi des grands nombres, lié au comportement du modèle en grande population, et le second, portant sur l’étude des fluctuations du modèle.

• • 10h15 – 10h55 : Exposé de Léo Delage
    
    Intro to graphs of groups.

    Groups acting on trees is a foundational topic in geometric group theory and topology, with an incredibly wide range of applications (graphs of spaces, JSJ theory, Outer spaces…) and generalizations (word-hyperbolic groups, CAT(0) cube complexes, real trees…). In this talk, I will sketch the classical correspondence between group actions on (simplicial) trees and the associated orbifold-like structures called graphs of groups that play the role of a quotient space. Some of my favorite examples will be provided.

• • 10h55 – 11h10 : Pause café

• • 11h10 – 11h50 : Exposé de Mabrouk Ben Jaba
    
    The human lung : an impossible-to-model organ ?

    The lung constitutes an essential exchange interface between ambient air and blood, playing a crucial role in the oxygenation of the latter and the elimination of carbon dioxide. Understanding its functioning therefore represents a major challenge.

    Various mathematical models have been developed to study its mechanisms, some involving complex partial differential equations. An alternative approach consists in considering models that integrate the bronchial tree as a whole, which is the perspective adopted here.

    Our approach is based on the hypothesis that gas exchanges are optimized to maximize the efficiency of the lung, in accordance with principles such as the theory of evolution. To explore this hypothesis and assess this optimality principle, we propose a model based on ordinary differential equations describing the evolution of oxygen concentration in the lung and its transport. Within this framework, we introduce, analyze, and study an optimal control problem aimed at characterizing the dynamics of the respiratory cycle.

• • 11h50 – 14h00 : Buffet déjeuner

• • 14h00 – 15h00 : Exposé de Aurélien Minguella
    
    The cutoff phenomenon for the Brownian motion on the torus.

    The cutoff phenomenon occurs in the study of the convergence of ergodic Markov chains towards their invariant measure. For a large class of these objects, we can expect that, when a size parameter (dimension, number of objects) becomes asymptotically large, convergence occurs abruptly. The aim of this presentation is to give an example of a natural Markov chain for which this phenomenon is relatively easy to prove.
    After reviewing discrete-time Markov chains, we will present their continuous-time counterparts. We will then define the Brownian motion on the torus and see how it fits into this framework. The end of the presentation will be devoted to concluding the proof of the cutoff.

• • 15h05 – 15h45 : Exposé de Marie Dautheville
    
    A quick tour inside the p-adic world

    The aim of this talk is to provide an introduction to several objects involved in the representation theory of p-adic groups, while keeping the presentation accessible to a broad audience. It will be divided into three parts. The first part will be devoted to the construction of the p-adic numbers, which form a totally disconnected number field that can be of characteristic zero or p, where p is a prime number. We will see some properties of this field and its ring of integers. Unlike the real numbers, compact subsets of \mathbb{Q}_p or \mathbb{F}_p((t)) can be both compact and open—this is the case, for instance, for the unit ball in \mathbb{Q}_p. This major difference leads us to the second part, concerning p-adic groups. In contrast with real Lie groups, p-adic groups may have several conjugacy classes of maximal compact subgroups. This section will be illustrated with examples of classical matrix groups. Finally, in the third part, we will briefly discuss representations of p-adic groups through the study of unramified characters of a group. We will determine those of SL(n, \mathbb{Q}_p) and, if time allows it, i will conclude by comparing the tempered duals of SL(2, \mathbb{Q}_p) and SL(2, \mathbb{R}).

• • 15h45 – 16h00 : Pause café – goûter

Le lieu d’annulation d’un polynôme en plusieurs variables peut être abordé sous plusieurs angles : l’étude de sa topologie et des ses points à coefficients entiers ou modulo p. Cela fournit donc des exemples d’espaces topologiques intéressants et permet en même temps d’aborder les équations arithmétiques sous un angle plus géométrique.

Nous chercherons dans un premier temps à voir pourquoi ces objets ont une topologie riche et restrictive, puis nous montrerons à travers un cas simple des conjectures de Weil comment la structure topologique restreint des données arithmétiques. Les bons objets derrière ce phénomène seront les motifs de Chow.

Les images numérisées sont généralement dégradées suite au processus d’acquisition ou de transmission. Quand la précision est cruciale, par exemple pour établir un diagnostique médical, il est préférable de filtrer ce bruit.

L’exposé porte sur un algorithme de filtrage du bruit reposant sur la dualité (Chambolle, 2004). L’information est extraite en minimisant une fonction construite afin de filtrer le bruit sans trop compromettre la netteté des contours de l’image sous-jacente.

Après avoir introduit la modélisation des images, la discussion s’articulera autour de trois outils : la variation totale, la conjuguée convexe et les sous-gradients. L’objectif est d’expliquer comment ils peuvent offrir un point de vue fructueux sur un problème d’optimisation. Si vous n’êtes pas convaincus, on me dit dans l’oreillette qu’il y aura moultes illustrations et animations !

Dans cet exposé nous regarderons l’apparition de la fonction exponentielle dans les ouvrages de Cauchy et discuterons, textes historiques à l’appui des critères de Cauchy, D’Alembert et d’Hadamard. Ce sera l’occasion de regarder quelques démonstrations d’analyse du 18-19ième siècle. La fonction exponentielle sera caractérisée via sa propriété de morphisme continu, comme l’a fait Cauchy dans son « Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique » paru en 1821. Son développement en série entière sera mis en lumière également par des textes d’époque. La suite de l’exposé est de constater l’émergence de la série exponentielle dans le contexte matriciel, puis dans le contexte des algèbres de Banach.  Dans la première moitié du 20-ième siècle, la norme matricielle de Frobenius,  sous-multiplicative, joue un rôle catalyseur poussant les mathématiciens comme Nagumo, Yosida, D.S. Nathan… puis Gelfand à étudier des structures algébriques générales – des C-algèbres (unitaires) – munies d’une norme sous-multiplicative rendant complet l’espace vectoriel sous-jacent : c’est l’émergence de l’étude des anneaux normés complets, connus aujourd’hui sous le nom d’algèbres de Banach. Toujours sous le prisme d’articles d’époque, nous donnerons quelques formules bien connues sur l’exponentielle, les sous-groupes à un paramètres fortement continus, et terminerons par la formule de Lie-Trotter dans le contexte des algèbres de Banach.

Les systèmes de Prony sont apparus dans de nombreux articles scientifiques issus de différents domaines sans que leur résolution ne devienne un classique en calcul scientifique. Cet exposé vise à mettre en avant ces systèmes en donnant deux applications (l’une en introduction pour motiver leur étude et l’autre en ouverture à la fin de l’exposé) ainsi qu’une étude de leurs principales propriétés. Un bon niveau licence est suffisant pour mener (et, je l’espère, apprécier) cette dernière. Des éléments de résolution numérique seront également présentés.

L’analyse topologique des données (Topological Data Analysis : TDA) est un domaine à l’intersection de la statistique et de la topologie algébrique qui a émergé au début des années 2000.

L’objectif est de tirer de nouvelles informations dans les données, en s’intéressant à des aspects géométriques et topologiques dans leur structure. Le cadre usuel consiste à étudier la structure d’un nuage de points, c’est-à-dire un ensemble de points dans un espace métrique, et un des outils le plus utilisé pour cela est ce qu’on appelle l’homologie persistante.

Dans cet exposé nous commencerons par introduire de manière pédagogique l’homologie persistante, puis nous discuterons de ces applications possibles dans un problème de neurosciences.

Cet exposé tourne autour de trois problèmes distincts mais fortement reliés. Tout d’abord, l’étude de la limite hydrodynamique de systèmes de particule soumises à des dynamiques de branchement et de sélection, qui est la question centrale que je me suis posée pendant ma thèse.

Ensuite, les équations de réaction-diffusion faisant intervenir une frontière libre contrôlant la masse totale, connus depuis une vingtaine d’année pour être reliés aux systèmes de particule en interactions.

Et enfin, le problème inverse du premier temps de passage pour un processus markovien, que l’on peut interpréter comme une reformulation probabiliste des problèmes à frontière libre.

Mon but sera de vous présenter ces trois problèmes et de vous expliquer l’état de la littérature sur ce qui les relient.

A first simplification of the gene expression mechanism considers that a gene is transcribed into messenger RNA, which in turn is translated into protein. Single-cell data have revealed the presence of biological variability between cells of identical genome and environment, highlighting not only epigenetic aspects but also the stochastic nature of gene expression.

In the context of regulatory networks underlying cell states and types, we need to build a model that takes into account both stochasticity and the interaction of genes with each other. Here we focus on a dynamical model of gene expression, formulated as a piecewise-deterministic Markov process (PDMP) and describing an arbitrary number of interacting genes. This stochastic model is able to reproduce the biological variability measured experimentally, but remains mathematically complex and difficult to study. This is why, in the litterature, a simplified model with only proteins is considered. 

During this talk, we provide insights on construction and use of semigroups and infinitesimal generators for PDMPs. Afterwards we present both models and use coupling methods to explicitly upper bound the error made when substituting the full model with its simplified version.

A fundamental question in geometry consists in understanding the effect of curvature on the shape of geometric spaces. In the case of surfaces, the Gauss-Bonnet Theorem establishes a link between the curvature of a surface and its topology. For example, it allows us to understand the topology of surfaces whose curvature is positive at every point.

When considering higher-dimensional geometric objects, called manifolds, we can define different notions of curvature. Scalar curvature is the weakest of these notions, and for this reason it is difficult to extract topological or geometric information from it. In particular, can we describe the topology of a manifold with positive scalar curvature?

In this talk, I will explain why this is an interesting question, and I will present a classification result for 3-dimensional manifolds with positive scalar curvature. This is a collaborative work with F. Balacheff and S. Sabourau.

In this talk, we begin by examining the application of curvature flows to a broad range of geometric problems. Following this, we introduce the essential geometric concepts required to understand these flows. Thereafter we focus on the mean curvature flow and its singularities. In particular, we give an intuitive and accessible proof of why singularities must occur if the initial surface is compact. After conducting a graphical analysis of various types of singularities, we describe how these singularities can be modeled by self-similar solutions of the mean curvature flow. Motivated by this, we conclude the presentation by exploring a current area of research: investigating the behavior of solutions that are in the proximity of such self-similar solutions.

Cela fait déjà plus de 150 ans que la recherche mathématique se casse les dents sur ce fameux problème appelé « Hypothèse de Riemann ». Portant sur les zéros non triviaux de la fonction Zêta de Riemann, elle est étroitement liée à la répartition des nombres premiers.

Journée conviviale d’exposés mathématiques pour les doctorants de l’IECL.

Programme :

Matin :

• 8h50 : Café d’accueil ;
• 9h20 : Karim Ramdani : Edition scientifique : un rapide survol des évolutions en cours ;
• 10h15 : Rodolphe Abou Assali : The Biharmonic Steklov Operator ;
• 10h55 : Pause ;
• 11h25 : Jérémy Dousselin : Arithmetic: from elementary statements to complex tools ;
• 12h15 : Pause repas

Après-midi :

• 14h : Aurélien Minguella : A brief introduction to stochastic partial differential equations ;
• 15h : Nathan Toumi : The level of distribution of the sum-of-digits function in arithmetic progressions ;
• 15h40 : Pause ;
• 16h10 : Valentin Schwinte : A minimization problem in the lowest Landau level, and centrosymmetric matrices ;
• 17h10 : Fin de la journée

This paper investigates the convergence time of log-linear learning to an $\epsilon$-efficient Nash equilibrium (NE) in potential games. In such games, an efficient NE is defined as the maximizer of the potential function. Previous literature provides asymptotic convergence rates to efficient Nash equilibria, and existing finite-time rates are limited to potential games with further assumptions such as the interchangeability of players. In this paper, we prove the first finite-time convergence to an $\epsilon$-efficient NE in general potential games. Our bounds depend polynomially on $1/\epsilon$, an improvement over previous bounds that are exponential in $1/\epsilon$ and only hold for subclasses of potential games. We then strengthen our convergence result in two directions: first, we show that a variant of log-linear learning that requires a factor $A$ less feedback on the utility per round enjoys a similar convergence time; second, we demonstrate the robustness of our convergence guarantee if log-linear learning is subject to small perturbations such as alterations in the learning rule or noise-corrupted utilities.