I will survey recent progress on the various aspects of the conjectures of Campana, Lang, and
Vojta, which relate the behaviour of (transcendental) curves on an algebraic variety to the density of rational
points and the abundance of certain subvarieties. The first part of this talk will be a gentle introduction to these conjectures.

Les orbifolds analytiques complexes donnent lieu à  des exemples naturels de systèmes locaux tordus, pour lesquels le groupe fondamental agit non trivialement sur le groupe des coefficients. Dans son article ‘Higgs bundles and local systems’ de 1992, C. Simpson laisse ouverte la question de la construction des fibrés de Higgs associés à  de tels systèmes locaux et le but de l’exposé est de donner les grandes lignes d’une réponse possible à  cette question. S’il reste du temps, nous montrerons comment on peut appliquer ce point de vue au calcul de la dimension des composantes de Hitchin de groupes fondamentaux orbifolds.

En 1977, Milnor a formulé la conjecture suivante : tout groupe discret de transformations affines agissant proprement sur l’espace affine est virtuellement résoluble. On sait maintenant que cet énoncé est faux. L’objectif est à  présent de mieux cerner les contre-exemples à  cette conjecture. Chaque groupe qui viole cette conjecture « vit » dans un certain groupe affine algébrique, qu’on peut spécifier en donnant un groupe linéaire et une représentation de celui-ci. Les représentations qui donnent lieu à  des contre-exemples sont alors appelées non-milnoriennes. Je vais parler des avancées obtenues dans la question de la classification de ces représentations non-milnoriennes.

Je présenterai la construction d’un invariant de la structure complexe des variétés de Calabi-Yau. Je montrerai ensuite qu’il fournit dans le cas des hypersurfaces de Calabi-Yau des espaces projectifs la donnée, côté complexe, qui correspond par la symétrie miroir au comptage des courbes de genre 1 sur la variété miroir, côté symplectique. Il s’agit d’un travail en commun avec Dennis Eriksson et Gerard Freixas i Montplet.

Un groupe de Cousin est un groupe de Lie complexe dont les fonctions holomorphes globales sont toutes constantes. Dans l’exposé on présentera des résultats obtenus ensemble avec Alexandra Otiman sur la cohomologie de ces groupes, notamment une caractérisation des groupes de Cousin tels que la cohomologie de Dolbeault de leurs domaines connexes soit de dimension finie. Ceci permet le calcul de la cohomologie de Dolbeault des variétés OT. On présentera également la construction des ces variétés à  partir des corps de nombres.

On présentera tout d’abord (de manière souvent un peu informelle) les objets utilisés : formes automorphes, adèles, champs et cohomologie étale. On donnera ensuite une esquisse de la démonstration de Vincent Lafforgue.

Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Il agit sur un espace hyperbolique de dimension infinie qui est une généralisation du modèle de l’hyperboloïde pour H^n. Cette action est centrale pour l’étude du groupe de Cremona. Après l’avoir définie, nous étudierons un pavage de Voronoï associé à  cette action. Nous nous concentrerons ensuite sur des graphes qui sont construits naturellement à  partir de ce pavage. Enfin, nous discuterons du fait que certains de ces graphes sont Gromov-hyperboliques.

Dans un article célèbre, Allcock, Carlson et Toledo ont décrit l’espace de modules des hypersurfaces cubiques de dimension trois comme le quotient arithmétique du complémentaire d’un arrangement d’hyperplans dans une boule complexe de dimension 10. Dans cet exposé, je donnerai une interprétation de cet espace de modules comme celui paramétrisant les déformations d’automorphismes d’ordre trois agissant sur une famille classique de variétés hyperkähleriennes polarisées. C’est un travail en collaboration avec Chiara Camere et Alessandra Sarti.

Soit $Gamma$ un réseau hyperbolique complexe uniforme, c’est-à -dire un sous-groupe discret de $SU(n,1)$, $ngeq 2$, agissant de manière cocompacte sur l’espace hyperbolique complexe $SU(n,1)/U(n)$. Si $rho$ est une
représentation, i.e. un morphisme, de $Gamma$ dans un groupe de Lie semisimple de type hermitien, l’invariant de Toledo fournit une mesure de la « taille complexe » de $rho$. Les représentations maximales sont celles qui maximisent cet invariant.
Nous classifions ces représentations en montrant qu’elles sont essentiellement induites par des représentations, elles-mêmes particulières, du groupe ambient $SU(n,1)$ dans $SU(p,q)$ avec $pgeq nq$, ou éventuellement, si $n=2$, de $SU(2,1)$ dans le groupe exceptionnel $E_{6(-14)}$.
La preuve utilise la théorie des fibrés de Higgs associés aux représentations des groupes Kähler ainsi que la dynamique et la géométrie du feuilletage tautologique sur le projectifié du fibré tangent des variétés hyperboliques complexes.
Il s’agit d’une collaboration avec Vincent Koziarz et Pierre-Emmanuel Chaput.

Un espace de matrices de rang constant est un sous espace vectoriel $V$ — disons $(n+1)$-dimensionnel — de l’espace des matrices ayant $a$ lignes et $b$ colonnes, tel que toutes les matrices de $V$ (sauf $0$) aient le même rang $r$. Les questions que l’on se pose sont, par exemple, pour quelles valeurs de $(a,b,n,r)$ un tel V existe-t-il ; ou alors, comment construire $V$ explicitement ; ou aussi, quelles variantes sont possibles (matrices symétriques, antisymétriques etc). On se rend compte rapidement qu’un tel espace $V$ donne lieu à  un fibré vectoriel $E$ sur l’espace projectif $mathbb{P}^n$, dont les matrices de $V$ fournissent une présentation. Ceci conduit à  exclure certaines valeurs de $(a,b,n,r)$ par des considérations sur les classes caractéristiques de $E$ – (travaux de Landsberg et al) et permet de répondre à  un sens des questions précédentes. En revanche, la construction de $V$ à  partir d’un fibré $E$ est plus mystérieuse. Je montrerai quelques méthodes pour y parvenir dans certains situations favorables (travail en commun avec A. Boralevi, E. Mezzetti, P. Lella)

Les réseaux dans les groupes de Lie semisimples de rang supérieur satisfont à  de nombreuses propriétés de rigidité : propriété (T), existence de points fixes pour des actions sur des arbres, des espaces de Hilbert… Dans cet exposé, nous montrerons que tout action par isométries d’un réseau sur un espace Gromov-hyperbolique est élémentaire. Parmi les conséquences, on retrouve le théorème de Farb-Kaimanovich-Masur que tout morphisme d’un réseau à  valeur dans un groupe modulaire est d’image finie. Guirardel et Horbez en déduisent également le théorème de Bridson-Wade que toute morphisme d’un réseau à  valeurs dans Out(Fn) est d’image finie.