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Groupe de travail Probabilités et Statistique

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Exposés à venir

Exposés passés

Introduction à la combinatoire analytique.

10 juin 2021 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Mathilde Bouvel
Résumé :

La combinatoire analytique est une théorie développée par Philippe Flajolet et son école, dont l’idée centrale est d’obtenir des propriétés de familles d’objets discrets en étudiant leurs séries génératrices vues comme des fonctions d’une variable complexe. Il s’agit le plus souvent d’obtenir l’énumération asymptotique de la famille considérée. En considérant des séries génératrices bivariées, on peut aussi obtenir des informations sur le comportement limite de statistiques sur les objets considérés.
Dans cet exposé, j’essaierai de faire un panorama des théorèmes principaux de la combinatoire analytique, illustré de quelques exemples, et en donnant quelques éléments de preuve. Une partie de l’exposé est préparatoire à la séance 2, où l’on utilisera l’énumération asymptotique d’une certaine famille d’arbres dans la preuve de la limite en graphon des cographes.


Titre à venir

18 février 2021 09:15-10:15 - Salle de probabilités et statistique virtuelle
Oratrice ou orateur : Gilles Stupfler (ENSAI, Rennes)
Résumé :

à venir


Sélection de variables dans la fonction de discrépance associée à un simulateur

11 février 2021 09:15-10:15 - Salle de probabilités et statistique virtuelle
Oratrice ou orateur : Pierre Barbillon (AgroParisTech)
Résumé :

Le modèle statistique qui relie des expériences physiques à un simulateur contient souvent une fonction de discrépance. La fonction de discrépance permet de modéliser l’écart systématique entre le simulateur et le phénomène réel. Étudier la fonction de discrépance aide à comprendre à quel point le simulateur est fiable. En particulier, déterminer que certaines variables d’entrées sont actives ou inertes dans la fonction de discrépance comporte un intérêt majeur puisque cela indique quelles variables sont correctement modélisées ou non par le simulateur. Ainsi, cela permettrait d’avoir des informations afin d’améliorer le simulateur et aiderait à décider si l’extrapolation dans certaines directions est risquée ou non. La fonction de discrépance est modélisée comme un processus gaussien paramétré comme dans l’article de Linkletter et al. (2006). Cette paramétrisation a pour intérêt d’avoir une distinction simple entre une variable active et une variable inerte. La procédure de sélection de variables repose sur une méthode de sélection de modèles où les modèles en compétition diffèrent sur les distributions a priori choisies pour les paramètres liés aux variables d’entrées. Nous nous appuyons sur le facteur de Bayes calculé efficacement par une procédure de « Bridge Sampling » pour effectuer la sélection de modèle. Des exemples artificiels sont utilisés pour faire la preuve de l’efficacité de la méthode et celle-ci sera appliquée à un simulateur permettant de prévoir la production d’énergie photovoltaïque. Travail en collaboration avec Anabel Forte et Rui Paulo.


Aux origines quantiques des processus déterminantaux.

14 janvier 2021 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Rémi Peyre
Résumé :

En théorie des probabilités, divers processus ponctuels — dont, par exemple, l’ensemble des valeurs propres de l’« ensemble gaussien unitaire » (GUE) — sont dits « déterminantaux », c’est à  dire qu’ils vérifient la propriété suivante : pour x1, …, xn des points, la probabilité que le processus charge simultanément tous ces points est de la forme « det ⸨K(xi, xj)⸩i,j » — o๠le noyau K a parfois une forme particulièrement alambiquée, même pour des processus assez simples… Si vous avez déjà  rencontré cette définition au détour d’une conférence, elle vous aura sans doute semblé fort mystérieuse : pourquoi avoir introduit cette notion de processus déterminantal ; d’o๠vient que certains processus naturels se mettent sous cette forme ; en quoi cette définition est-elle susceptible de donner des propriétés intéressantes ; … ?

J’apporterai quelques éléments de réponse à  ces questions en m’appuyant sur l’article fondateur du concept de processus déterminantal [Benard & Macchi 1973], article qui traitait de… physique quantique ! En effet, il s’avère que les processus déterminantaux sont essentiellement ceux qui décrivent les positions d’un type de particules quantiques appelées fermions, dont l’état vit dans la partie antisymétrique d’une puissance tensorielle d’espace hilbertien (!).

Bien entendu, toutes ces notions seront expliquées au cours de l’exposé, dont la présentation sera orientée selon un angle aussi mathématique que possible. à€ noter que du point de vue technique, il y aura finalement assez peu de probabilités dans ce que je vais raconter (car ici on se contentera de justifier l’intérêt d’étudier les processus déterminantaux : or les probabilités interviennent surtout ensuite, lors de l’étude à  proprement parler) ; par contre, préparez-vous à  subir une bonne dose d’analyse hilbertienne complexe…!


Inégalité de Poincaré, critère de Bakry-Emery et quasi-stationnarité. Partie II: Quasi-ergodicité par Poincaré et Bakry-Emery

19 novembre 2020 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : William Oçafrain
Résumé :

Cette seconde partie se basera sur le preprint « Convergence to quasi-stationarity through Poincaré inequalities and Bakry-Emery criteria ». Il y sera démontré que l’on peut obtenir de la quasi-ergodicité (i.e. convergence de lois marginales de processus conditionnée à  la non-absorption) à  vitesse exponentielle au moyen d’un processus auxiliaire, appelé Q-processus, satisfaisant une inégalité de Poincaré ou une condition de Bakry-Emery. Lorsque le processus absorbé est une diffusion de Kolmogorov, le Q-processus l’est aussi, ce qui permet dans ce cas précis d’énoncer des critères intéressants sur le potentiel pour l’estimation du taux de convergence.


Inégalité de Poincaré, critère de Bakry-Emery et quasi-stationnarité. Partie I: De Poincaré à  Bakry-Emery.

12 novembre 2020 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : William Oçafrain
Résumé :

Cette première partie s’intéressera à  l’utilisation d’inégalités fonctionnelles visant à  obtenir une vitesse de convergence d’un processus de Markov vers une mesure invariante. Plus précisément, nous parlerons de l’inégalité de Poincaré et démontrerons, entre autre, qu’elle implique une convergence exponentielle en divergence du chi2 et en variation totale. Puis nous évoquerons la condition courbure-dimension de Bakry-Emery et montrerons qu’elle implique une inégalité de Poincaré. Si le temps le permet, nous parlerons aussi de l’inégalité de Sobolev logarithmique.


The limiting shape of random permutations: an introduction to permuton convergence. (II)

15 octobre 2020 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Jacopo
Résumé :

In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the « Brownian separable permuton » (BSP) and the « Baxter permuton » (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.


The limiting shape of random permutations: an introduction to permuton convergence.

8 octobre 2020 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Jacopo
Résumé :

In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the « Brownian separable permuton » (BSP) and the « Baxter permuton » (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.


Grandes déviations

12 mars 2020 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Régine Marchand
Résumé :

Evolving systems of SDEs (joint work with Rolando Rebolledo)

27 février 2020 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Leonardo VIDELA
Résumé :

We introduce Evolving Systems of Stochastic Differential Equations.

This model generalises the well-known stochastic differential equations

with markovian switching, enabling the countably-many local

systems to have solutions in regime-dependent dimension. We provide

two constructions, the first one based upon general results on measure-valued

processes, and the second one partially inspired by recent developments

of the theory of concatenation of right processes. We prove the Feller

property under very mild assumptions and discuss ongoing research


Comment sont répartis les nombres rationnels ?

13 février 2020 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Rémi Peyre
Résumé :

L’ensemble des nombres rationnels pouvant s’écrire avec un dénominateur ≤ N, pour une grande valeur de N, est un ensemble discret de R dont la densité globale est de l’ordre de 3/Ï€2 à— N2 (ou 1/2 à— N2 si on compte avec multiplicité). Si on regarde R depuis un point tiré au sort uniformément (modulo 1) et qu’on “zoome” pour voir les détails d’échelle 1/N2, la loi de l’ensemble de points aléatoire ainsi obtenu converge-t-elle vers une limite lorsque N tend vers l’infini ? — cette limite représentant alors, moralement, le comportement local des nombres rationnels de dénominateur borné.

Je me suis penché récemment sur cette question, qui apparemment n’avait jamais été regardée jusque-là , et j’ ai montré qu’effectivement il y avait bien un processus-limite. Ce processus-limite n’est pas réellement aléatoire : il s’apparente plutôt à  un système dynamique (observé sous sa mesure d’équilibre), système dynamique que je préciserai et dont j’établirai l’ergodicité. Pour démontrer tout cela, il faudra utiliser un outil de théorie de nombres très intéressant : l’arbre de Stern-Brocot.

L’exposé montrera également une simulation dynamique de ce fameux processus


Concentration de la mesure et théorème de Dvoretsky : tout convexe en dimension n est un ellipsoïde en dimension log(n).

6 février 2020 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Nicolas Champagnat
Résumé :

la methode symbolique en combinatoire analytique, sur des exemples

30 janvier 2020 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Philippe Chassaing
Résumé :

Barak-Erdös graphs and the infinite-bin model

9 janvier 2020 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Sanjay Ramassamy
Résumé :

Barak-Erdös graphs are the directed acyclic version of Erdös-Rényi
random graphs : the vertex set is {1,…,n} and for each i<j with
probability p we add an edge directed from i to j, independently for
each pair i0 and is differentiable once but not twice at p=0. We also show
that the coefficients of the Taylor expansion at p=1 of C(p) are
integers, suggesting that C(p) is the generating function of some class
of combinatorial objects.


Introduction à  la persistance stochastique(II)

19 décembre 2019 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Edouard STRICKLER
Résumé :

L’objectif de ces deux séances est de présenter la théorie de la persistance stochastique et les résultats récemment obtenus par Michel Benaïm (preprint 2018).
On s’intéresse à  un processus de Markov (type EDS ou PDMP) modélisant une population et laissant invariant un ensemble (typiquement, un point, ou une face de l’orthant positif) qui représente l’extinction d’une ou plusieurs espèces.
L’hypothèse d’invariance implique que le processus n’est pas absorbé en temps fini par l’ensemble d’extinction. Les outils développés par Michel Benaïm permettent d’étudier le processus au voisinage de l’ensemble d’extinction, et ainsi d’obtenir des conditions suffisantes pour l’extinction (convergence vers l’ensemble invariant) ou la persistance (concentration des trajectoires à  une certaine distance de l’ensemble d’extinction). L’hypothèse principale est l’existence d’une fonction de type Lyapunov, qui permet de contrôler le processus au voisinage du bord, et les résultats se lisent sur le signe d’exposants de Lyapunov liés à  cette fonction.
Dans la partie 1, nous verrons les définitions et les principaux résultats, ainsi que quelques exemples d’application.
Dans la partie 2, nous verrons les idées de preuves des principaux résultats et d’autres exemples.


Introduction à  la persistance stochastique(I)

12 décembre 2019 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Edouard STRICKLER
Résumé :

L’objectif de ces deux séances est de présenter la théorie de la persistance stochastique et les résultats récemment obtenus par Michel Benaïm (preprint 2018).
On s’intéresse à  un processus de Markov (type EDS ou PDMP) modélisant une population et laissant invariant un ensemble (typiquement, un point, ou une face de l’orthant positif) qui représente l’extinction d’une ou plusieurs espèces.
L’hypothèse d’invariance implique que le processus n’est pas absorbé en temps fini par l’ensemble d’extinction. Les outils développés par Michel Benaïm permettent d’étudier le processus au voisinage de l’ensemble d’extinction, et ainsi d’obtenir des conditions suffisantes pour l’extinction (convergence vers l’ensemble invariant) ou la persistance (concentration des trajectoires à  une certaine distance de l’ensemble d’extinction). L’hypothèse principale est l’existence d’une fonction de type Lyapunov, qui permet de contrôler le processus au voisinage du bord, et les résultats se lisent sur le signe d’exposants de Lyapunov liés à  cette fonction.
Dans la partie 1, nous verrons les définitions et les principaux résultats, ainsi que quelques exemples d’application.
Dans la partie 2, nous verrons les idées de preuves des principaux résultats et d’autres exemples.


TBA

7 novembre 2019 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Ernesto Mordecki
Résumé :

Optimal stopping of continuous time stochastic processes

24 octobre 2019 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Ernesto Mordecki
Résumé :

The talk comprises two parts. In the first one, the problem of optimal
stopping is introduced, and some classical results are presented and proved in certain
detail, after a discussion of several different existing approaches.
In the second one, some new results are presented, concerning diffusions with discontinuous
coefficients. In this case, new phenomena concerning the classical solutions appear.


Le démon de Solomonoff

16 mai 2019 09:15-10:15 -
Oratrice ou orateur : Lê Nguyên HOANG
Résumé :

le démon de Solomonoff


Loi des grands nombres pour des processus de branchement en temps discret (II)

2 mai 2019 10:30-10:45 -
Oratrice ou orateur : Denis Villemonais
Résumé :
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