In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the « Brownian separable permuton » (BSP) and the « Baxter permuton » (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.

In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the « Brownian separable permuton » (BSP) and the « Baxter permuton » (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.

We introduce Evolving Systems of Stochastic Differential Equations.

This model generalises the well-known stochastic differential equations

with markovian switching, enabling the countably-many local

systems to have solutions in regime-dependent dimension. We provide

two constructions, the first one based upon general results on measure-valued

processes, and the second one partially inspired by recent developments

of the theory of concatenation of right processes. We prove the Feller

property under very mild assumptions and discuss ongoing research

L’ensemble des nombres rationnels pouvant s’écrire avec un dénominateur ≤ N, pour une grande valeur de N, est un ensemble discret de R dont la densité globale est de l’ordre de 3/Ï€2 à— N2 (ou 1/2 à— N2 si on compte avec multiplicité). Si on regarde R depuis un point tiré au sort uniformément (modulo 1) et qu’on “zoome” pour voir les détails d’échelle 1/N2, la loi de l’ensemble de points aléatoire ainsi obtenu converge-t-elle vers une limite lorsque N tend vers l’infini ? — cette limite représentant alors, moralement, le comportement local des nombres rationnels de dénominateur borné.

Je me suis penché récemment sur cette question, qui apparemment n’avait jamais été regardée jusque-là , et j’ ai montré qu’effectivement il y avait bien un processus-limite. Ce processus-limite n’est pas réellement aléatoire : il s’apparente plutôt à  un système dynamique (observé sous sa mesure d’équilibre), système dynamique que je préciserai et dont j’établirai l’ergodicité. Pour démontrer tout cela, il faudra utiliser un outil de théorie de nombres très intéressant : l’arbre de Stern-Brocot.

L’exposé montrera également une simulation dynamique de ce fameux processus

Barak-Erdös graphs are the directed acyclic version of Erdös-Rényi
random graphs : the vertex set is {1,…,n} and for each i<j with
probability p we add an edge directed from i to j, independently for
each pair i0 and is differentiable once but not twice at p=0. We also show
that the coefficients of the Taylor expansion at p=1 of C(p) are
integers, suggesting that C(p) is the generating function of some class
of combinatorial objects.

L’objectif de ces deux séances est de présenter la théorie de la persistance stochastique et les résultats récemment obtenus par Michel Benaïm (preprint 2018).
On s’intéresse à  un processus de Markov (type EDS ou PDMP) modélisant une population et laissant invariant un ensemble (typiquement, un point, ou une face de l’orthant positif) qui représente l’extinction d’une ou plusieurs espèces.
L’hypothèse d’invariance implique que le processus n’est pas absorbé en temps fini par l’ensemble d’extinction. Les outils développés par Michel Benaïm permettent d’étudier le processus au voisinage de l’ensemble d’extinction, et ainsi d’obtenir des conditions suffisantes pour l’extinction (convergence vers l’ensemble invariant) ou la persistance (concentration des trajectoires à  une certaine distance de l’ensemble d’extinction). L’hypothèse principale est l’existence d’une fonction de type Lyapunov, qui permet de contrôler le processus au voisinage du bord, et les résultats se lisent sur le signe d’exposants de Lyapunov liés à  cette fonction.
Dans la partie 1, nous verrons les définitions et les principaux résultats, ainsi que quelques exemples d’application.
Dans la partie 2, nous verrons les idées de preuves des principaux résultats et d’autres exemples.

L’objectif de ces deux séances est de présenter la théorie de la persistance stochastique et les résultats récemment obtenus par Michel Benaïm (preprint 2018).
On s’intéresse à  un processus de Markov (type EDS ou PDMP) modélisant une population et laissant invariant un ensemble (typiquement, un point, ou une face de l’orthant positif) qui représente l’extinction d’une ou plusieurs espèces.
L’hypothèse d’invariance implique que le processus n’est pas absorbé en temps fini par l’ensemble d’extinction. Les outils développés par Michel Benaïm permettent d’étudier le processus au voisinage de l’ensemble d’extinction, et ainsi d’obtenir des conditions suffisantes pour l’extinction (convergence vers l’ensemble invariant) ou la persistance (concentration des trajectoires à  une certaine distance de l’ensemble d’extinction). L’hypothèse principale est l’existence d’une fonction de type Lyapunov, qui permet de contrôler le processus au voisinage du bord, et les résultats se lisent sur le signe d’exposants de Lyapunov liés à  cette fonction.
Dans la partie 1, nous verrons les définitions et les principaux résultats, ainsi que quelques exemples d’application.
Dans la partie 2, nous verrons les idées de preuves des principaux résultats et d’autres exemples.

The talk comprises two parts. In the first one, the problem of optimal
stopping is introduced, and some classical results are presented and proved in certain
detail, after a discussion of several different existing approaches.
In the second one, some new results are presented, concerning diffusions with discontinuous
coefficients. In this case, new phenomena concerning the classical solutions appear.

le démon de Solomonoff

Nous aborderons la loi des grands nombres pour des processus de branchement en temps discret, vu comme des composés de noyau de transition. L’exposé commencera par quelques exemples simples, présentera le formalisme utilisé, et abordera la formule many-to-one, un critère de type x log x pour l’uniforme intégrabilité de la martingale de Biggins et, enfin, un critère de type R-positivité pour la loi des grands nombres.

Le but est de déterminer la distribution d’un arbre couvrant d’un graphe G sur l’ensemble des arêtes de G.
Ceci est fait via le théorème de Kirchhoff pour la distribution marginale et le théorème de transfert de courant pour la distribution totale.

Le but est de déterminer la distribution d’un arbre couvrant d’un graphe G sur l’ensemble des arêtes de G.
Ceci est fait via le théorème de Kirchhoff pour la distribution marginale et le théorème de transfert de courant pour la distribution totale.

J’introduirai rapidement le processus de contact ainsi que les problèmes qui nous intéresserons à  son sujet. Je discuterai des difficultés qui apparaissent lors de son étude sur un graphe non-régulier et j’essaierai de montrer comment, pour le graphe Booléen, on peut les contourner à  l’aide des propriétés démontrées dans l’exposé précédent.

Je commencerai par présenter le modèle avant de démontrer quelques propriétés du graphe Booléen qui seront utiles à  l’étude du processus de contact sur ce-dernier.