Forme asymptotique des trous dans une percolation booléenne de grand paramètre

La mosaïque de Poisson-Voronoï est un objet classique en géométrie aléatoire : on jette des « germes » de façon poissonnienne dans l’espace euclidien ℝ^d ; et à chaque germe, on associe la « cellule » des points de l’espace situés plus près de lui que de n’importe quel autre germe. (Ce qui, au passage, donne lieu à de jolis dessins 😇). On peut alors chercher à comprendre les « phénomènes extrêmaux » d’un tel processus aléatoire, à savoir, répondre aux questions du type : lorsqu’une cellule possède un comportement extraordinaire, conditionnellement à cela, à quoi ressemble-t-elle ? Cette problématique a notamment été étudiée par Pierre CALKA et Nicolas CHENAVIER.

Ici nous nous intéressons aux cellules de très grand circumrayon, c’est-à-dire, les cellules dont une partie du bord est située à distance > R du germe pour un R très grand. L’existence d’une telle cellule est équivalente à dire qu’il y a dans l’espace une boule de rayon R entièrement vide de germes. Or, dans un tel cas, à ce vide sont toujours associées plusieurs (au moins d + 1) cellules de grand circumrayon. Mais combien au juste ? Il se trouve que, lorsqu’on fait tendre R vers l’infini, la loi du nombre de cellules dans un tel « agrégat » de cellules de grand circumrayon converge vers une limite qui n’est pas dégénérée (pour d > 1)… mais dont le comportement est encore mal compris !

Dans cette paire d’exposés, je vais raconter comment j’ai étudié cette loi-limite du nombre d’agrégats, via des objets géométriques aléatoires qui sont intéressants en tant que tels. L’étude de ces objets, ainsi que leur simulation, fait intervenir plusieurs idées intéressantes. Mon but ultime sera notamment de vous expliquer comment je suis parvenu à démontrer que l’espérance du nombre de cellules dans un agrégat (qu’on appelle, dans le jargon, « l’inverse de l’indice extrêmal ») vaut 2d, confirmant et généralisant une conjecture émise par P. Calka il y a une dizaine d’années.

Ce premier exposé sera plus spécifiquement consacré à l’étude asymptotique de la forme des zones situées à distance plus de R de tout germe : nous montrerons comment une renormalisation appropriée permet d’obtenir une convergence de cette forme vers une loi de probabilité non triviale, loi que nous définirons rigoureusement.

La réunion d’équipe de la rentrée

Le premier groupe de travail, un peu plus tôt que d’habitude. Voici le résumé.

Quand aura-t-on encore l’occasion d’accueillir à Nancy cette confèrence si renommé?

Alos nous ne pouvons pas la manquer 🙂

Le groupe de travail n’aura pas lieu pour vous permettre la participation à la confèrence qui se tiendra au Centre Prouvé.

+ « Schéma de splitting pour une équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire » (Renaud Marty)

Nous considérons dans cet exposé une équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire. Ce terme de dispersion est un processus stochastique continu général qui peut être par exemple défini à partir d’un mouvement brownien fractionnaire.Nous étudions un schéma de splitting pour la résolution numérique de cette équation.Nous établissons des résultats sur l’ordre de convergence du schéma et montrons qu’il préserve l’asymptotique.

+ « Une extension probabiliste de la suite d’Oldenburger-Kolakoski » (Irène Marcovici)

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique suite infinie sur l’alphabet {1,2} qui commence par un 1 et est un point fixe de l’application de codage par plage. Dans cet exposé, nous prendrons un peu de recul par rapport à cette suite bien connue et très étudiée, en introduisant de l’aléa dans le choix des lettres écrites. Cela nous permettra de montrer des résultats portant sur la convergence de la densité de 1 dans les suites ainsi construites. Dans le cas où les lettres sont choisies selon une suite i.i.d. de variables aléatoires ou selon une chaîne de Markov, la densité moyenne de 1 converge. De plus, dans le cas i.i.d., nous arrivons même à démontrer que la densité converge presque sûrement.
Il s’agit d’un travail réalisé en collaboration avec Chloé Boisson et Damien Jamet.

+ « Les convolutions de Bernoulli » (Edouard Strickler)

Prenez un nombre, mutlipliez-le par une constante a < 1,  ajouter lui aléatoirement 1 ou – 1, et recommencez. Une chaîne de Markov ultra-simple ? et pourtant, elle cache de l’auto-similarité, des escaliers du diable, des nombres de Pisot, des résultats d’Erdös, une vallée de la mort, et son lot de mystères…

+ « Cutoff pour le mouvement Brownien sur les sphères«  (Koléhè Coulibaly-Pasquier)

Nous verrons comment l’entrelacement algébrique fait apparaître le flot de courbure moyenne stochastique renormalisé. Après couplage, entre le processus dual et le processus primal, nous présenterons la notion de temps fort stationnaire. Nous verrons qu’au temps ln(n)/n le mouvement Brownien sur la sphère S^(n+1) est brutalement proche (en séparation) de sa mesure invariante.C’est une série de travaux en collaboration avec Laurent Miclo, et Marc Arnaudon.

Le groupe de travail n’aura pas lieu pour que vous alliez au workhop internationale

Stochastic processes, metastability and applications

qui se tiendra à Nancy du 31 mai au 2 juin 2023, organisé par notre collègue Aline Kurtzmann.

Le groupe de travail n’aura pas lieu, à la place vous pouvez participer à la masterclass M2.

Les cours de proba (L. Coutin et I. Kortchemski) ont lieu du mercredi après-midi au vendredi.

This talk deals with mathematical modeling of dynamical systems through branching processes. After a brief introduction to the theory on branching processes, we will focus the attention in two research lines: models based on two-sex branching processes and models based on branching processes to describe the dynamics of specific biological species. Concernig the first, we will provide an overview on some classes of two-sex branching models recently investigated. About the second line, we will present two stochastic models, the first to describe the demographic dynamics of long-lived raptor species, and the second, to describe the probabilistic evolution of complex biological systems. We will show an application of the first model to the study about the demographic dynamics of black vulture colonies in the region of Extremadura (Spain).

L’orateur est invité BIGS.

Le concept de pseudotrajectoires asymptotiques a été développé à la fin des années 90 par M. Benaïm et M. Hirsch. Pour mieux comprendre la dynamique des algorithmes d’approximation stochastique, ils ont eu l’idée fructueuse d’intégrer aux techniques probabilistes classiques des notions de systèmes dynamiques.

Précisément, nous allons nous rendre compte dans le cadre de ce groupe de travail que la propriété de pseudotrajectoire asymptotique (que je n’écrirai pas ici pour maintenir le suspense) peut donner l’impression d’être relativement peu exploitable, de prime abord. Même si des raisonnements probabilistes à notre portée peuvent nous permettre d’obtenir cette propriété pour des processus raisonnables, elle reste un brin mystique.

C’est sans compter sur l’ingéniosité de Benaïm et Hirsch, qui montrent que cette propriété est en fait suffisante pour dire beaucoup de choses sur le comportement asymptotique de nos algorithmes d’approximation stochastique. Il est possible de relier le comportement limite de ces trajectoires aléatoires aux ensembles de points intrinsèquement récurrents en chaîne pour un certain flot déterministe.

Après avoir rappelé la définition et quelques propriétés des opérateurs positifs sur les treillis de Banach, je m’intéresserai aux opérateurs positifs quasi-compacts : il s’agit d’opérateurs qui, à une « petite » perturbation près, se comportent comme une matrice de taille finie. Un résultat particulièrement intéressant de cette propriété est qu’elle se transfert aisément d’un opérateur à un autre par des arguments de domination. Nous verrons comment appliquer ces résultats aux processus sous-markoviens pour obtenir des résultats de convergence des processus conditionnés à la non-absorption.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites “hyperboliques”) sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme. Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites « hyperboliques ») sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme.

Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Le groupe de travail s’étalera sur deux séances: celle ci est la première.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites « hyperboliques ») sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme.

Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Le groupe de travail s’étalera sur deux séances: celle ci est la deuxième.

À l’instar du triangle de Pascal, d’autres triangles combinatoires (Stirling, Euler) ont des (sortes de) formules de Pascal. On verra au cours de cet exposé comment associer à chacune de ces formules de Pascal, de manière naturelle, une chaîne de Markov liée à un processus stochastique bien connu. Un comportement asymptotique « explicite » de la chaîne de Markov en découle.

Ce groupe de travail à deux voix est basé sur un travail commun avec Alexis Zevio (étudiant à la prepa agrég).

Nous nous intéressons ici au modèle de graphes aléatoires d’Erdos-Renyi G(n,p), où les sommets sont étiquetés de 1 à n et chaque arête est prise indépendamment avec probabilité p. Un type de question classique sur ce modèle consiste à demander si une propriété $\phi$ — par exemple, « le graphe contient un triangle » ou « le graphe est connexe » — est satisfaite ou non à la limite ; ou de manière plus générale, quelle est la limite de la probabilité que $G(n,p)$ vérifie $\phi$ ? En prenant du recul, on peut se demander, si, quand $\phi$ est une propriété « naturelle » (dans un sens que l’on précisera), cette limite existe toujours et si elle peut prendre n’importe quelle valeur (ou par exemple seulement 0 ou 1). Ceci amène à la notion de loi de convergence (si la limite existe toujours) ou de loi de 0/1 (si la limite vaut toujours 0 ou 1).

Je présenterai quelques résultats de ce type (pour G(n,p) et pour un modèle d’arbres aléatoires), et essayerai d’expliquer les idées derrière, venant de la théorie des modèles finis (en particulier le jeu combinatoire d’Ehrenfeucht-Fraïssé), de l’algorithmique (techniques de réduction en complexité) et de la combinatoire analytique (universalité des singularités en racine dans les modèles d’arbres).

(Basé sur le livre « Strange logic of random graphs », Spencer, 2001, et l’article de Woods « Colouring Rules for Finite Trees and Probabilities of Monadic Second Order Sentences », 1997).
Ce groupe de travail s’articule sur deux séances : celle ci est la deuxième partie.

En probabilités, dans les situations où deux variables aléatoires X et Y (à valeurs dans des espaces quelconques) sont “presque” indépendantes sans l’être complètement pour autant (par exemple, entre deux valeurs éloignées d’une chaine de Markov ergodique), une question naturelle est de quantitifer cette dépendance partielle. Parmi les différentes mesures de dépendances conçues par les mathématiciens , l’une est particulièrement intéressante : il s’agit du coefficient de ρ-mélange, qu’on peut définir comme le coefficient de corrélation de Pearson maximal pouvant être obtenu entre deux v.a. réelles de la forme resp. f(X) et g(Y). Le ρ-mélange possède aussi d’autres définitions équivalentes que je présenterai brièvement, et qui en font dès le départ un outil particulièrement naturel.

Dans cet exposé, je présenterai la propriété dite de tensorisation, qui est spécifique au ρ-mélange, et rend cet outil particulièrement bien adapté pour borner la dépendance entre des v.a. “compliquées” faites d’une collection de v.a. plus simples. Une application où cette propriété est particulièrement bienvenue concerne l’étude de modèles de physique statistique comme celui d’Ising (non critique), où les variables aléatoires de base (appelées « spins ») sont indexées par ℤd, et où la corrélation entre deux spins individuels tend vers zéro lorsque la distance augmente. Une question qu’on aimerait alors résoudre est : que peut-on dire de la corrélation entre deux groupes de spins ; et en particulier, y a-t-il des bornes indépendantes de la taille de ces groupes…?

Je raconterai ensuite quelles difficultés soulève le résultat “de base” sur la tensorisation du ρ-mélange, et comment, dans un de mes travaux, j’ai établi un résultat de tensorisation généralisée permettant l’application effective de la tensorisation en physique statistique. Je conclurai en présentant quelques autres approches de l’idée de mélange (au sens de « indépendance asymptotique ») en physique statistique, et des liens qu’on peut espérer établir entre ces approches et celle par ρ-mélange.

En fait, cet exposé est en lien avec celui que j’avais donné le 12 janvier, où j’avais présenté un panorama des principales méthodes de quantification de l’idée de dépendance partielle (ainsi que des implications entre les unes et les autres) : le contenu de cette séance-ci sera, en substance, constitué par les points que je n’ai pas eu le temps de vous présenter en janvier. Néanmoins, j’ai préparé ce second exposé de sorte qu’il soit totalement indépendant du premier : vous pourrez donc le suivre sans problème même si vous n’étiez pas là en janvier ! \uD83D\uDE07