Le concept de pseudotrajectoires asymptotiques a été développé à la fin des années 90 par M. Benaïm et M. Hirsch. Pour mieux comprendre la dynamique des algorithmes d’approximation stochastique, ils ont eu l’idée fructueuse d’intégrer aux techniques probabilistes classiques des notions de systèmes dynamiques.

Précisément, nous allons nous rendre compte dans le cadre de ce groupe de travail que la propriété de pseudotrajectoire asymptotique (que je n’écrirai pas ici pour maintenir le suspense) peut donner l’impression d’être relativement peu exploitable, de prime abord. Même si des raisonnements probabilistes à notre portée peuvent nous permettre d’obtenir cette propriété pour des processus raisonnables, elle reste un brin mystique.

C’est sans compter sur l’ingéniosité de Benaïm et Hirsch, qui montrent que cette propriété est en fait suffisante pour dire beaucoup de choses sur le comportement asymptotique de nos algorithmes d’approximation stochastique. Il est possible de relier le comportement limite de ces trajectoires aléatoires aux ensembles de points intrinsèquement récurrents en chaîne pour un certain flot déterministe.

Après avoir rappelé la définition et quelques propriétés des opérateurs positifs sur les treillis de Banach, je m’intéresserai aux opérateurs positifs quasi-compacts : il s’agit d’opérateurs qui, à une « petite » perturbation près, se comportent comme une matrice de taille finie. Un résultat particulièrement intéressant de cette propriété est qu’elle se transfert aisément d’un opérateur à un autre par des arguments de domination. Nous verrons comment appliquer ces résultats aux processus sous-markoviens pour obtenir des résultats de convergence des processus conditionnés à la non-absorption.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites “hyperboliques”) sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme. Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites « hyperboliques ») sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme.

Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Le groupe de travail s’étalera sur deux séances: celle ci est la première.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites « hyperboliques ») sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme.

Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Le groupe de travail s’étalera sur deux séances: celle ci est la deuxième.

À l’instar du triangle de Pascal, d’autres triangles combinatoires (Stirling, Euler) ont des (sortes de) formules de Pascal. On verra au cours de cet exposé comment associer à chacune de ces formules de Pascal, de manière naturelle, une chaîne de Markov liée à un processus stochastique bien connu. Un comportement asymptotique « explicite » de la chaîne de Markov en découle.

Ce groupe de travail à deux voix est basé sur un travail commun avec Alexis Zevio (étudiant à la prepa agrég).

Nous nous intéressons ici au modèle de graphes aléatoires d’Erdos-Renyi G(n,p), où les sommets sont étiquetés de 1 à n et chaque arête est prise indépendamment avec probabilité p. Un type de question classique sur ce modèle consiste à demander si une propriété $\phi$ — par exemple, « le graphe contient un triangle » ou « le graphe est connexe » — est satisfaite ou non à la limite ; ou de manière plus générale, quelle est la limite de la probabilité que $G(n,p)$ vérifie $\phi$ ? En prenant du recul, on peut se demander, si, quand $\phi$ est une propriété « naturelle » (dans un sens que l’on précisera), cette limite existe toujours et si elle peut prendre n’importe quelle valeur (ou par exemple seulement 0 ou 1). Ceci amène à la notion de loi de convergence (si la limite existe toujours) ou de loi de 0/1 (si la limite vaut toujours 0 ou 1).

Je présenterai quelques résultats de ce type (pour G(n,p) et pour un modèle d’arbres aléatoires), et essayerai d’expliquer les idées derrière, venant de la théorie des modèles finis (en particulier le jeu combinatoire d’Ehrenfeucht-Fraïssé), de l’algorithmique (techniques de réduction en complexité) et de la combinatoire analytique (universalité des singularités en racine dans les modèles d’arbres).

(Basé sur le livre « Strange logic of random graphs », Spencer, 2001, et l’article de Woods « Colouring Rules for Finite Trees and Probabilities of Monadic Second Order Sentences », 1997).
Ce groupe de travail s’articule sur deux séances : celle ci est la deuxième partie.

En probabilités, dans les situations où deux variables aléatoires X et Y (à valeurs dans des espaces quelconques) sont “presque” indépendantes sans l’être complètement pour autant (par exemple, entre deux valeurs éloignées d’une chaine de Markov ergodique), une question naturelle est de quantitifer cette dépendance partielle. Parmi les différentes mesures de dépendances conçues par les mathématiciens , l’une est particulièrement intéressante : il s’agit du coefficient de ρ-mélange, qu’on peut définir comme le coefficient de corrélation de Pearson maximal pouvant être obtenu entre deux v.a. réelles de la forme resp. f(X) et g(Y). Le ρ-mélange possède aussi d’autres définitions équivalentes que je présenterai brièvement, et qui en font dès le départ un outil particulièrement naturel.

Dans cet exposé, je présenterai la propriété dite de tensorisation, qui est spécifique au ρ-mélange, et rend cet outil particulièrement bien adapté pour borner la dépendance entre des v.a. “compliquées” faites d’une collection de v.a. plus simples. Une application où cette propriété est particulièrement bienvenue concerne l’étude de modèles de physique statistique comme celui d’Ising (non critique), où les variables aléatoires de base (appelées « spins ») sont indexées par ℤd, et où la corrélation entre deux spins individuels tend vers zéro lorsque la distance augmente. Une question qu’on aimerait alors résoudre est : que peut-on dire de la corrélation entre deux groupes de spins ; et en particulier, y a-t-il des bornes indépendantes de la taille de ces groupes…?

Je raconterai ensuite quelles difficultés soulève le résultat “de base” sur la tensorisation du ρ-mélange, et comment, dans un de mes travaux, j’ai établi un résultat de tensorisation généralisée permettant l’application effective de la tensorisation en physique statistique. Je conclurai en présentant quelques autres approches de l’idée de mélange (au sens de « indépendance asymptotique ») en physique statistique, et des liens qu’on peut espérer établir entre ces approches et celle par ρ-mélange.

En fait, cet exposé est en lien avec celui que j’avais donné le 12 janvier, où j’avais présenté un panorama des principales méthodes de quantification de l’idée de dépendance partielle (ainsi que des implications entre les unes et les autres) : le contenu de cette séance-ci sera, en substance, constitué par les points que je n’ai pas eu le temps de vous présenter en janvier. Néanmoins, j’ai préparé ce second exposé de sorte qu’il soit totalement indépendant du premier : vous pourrez donc le suivre sans problème même si vous n’étiez pas là en janvier ! \uD83D\uDE07

Nous nous intéressons ici au modèle de graphes aléatoires d’Erdos-Renyi G(n,p), où les sommets sont étiquetés de 1 à n et chaque arête est prise indépendamment avec probabilité p. Un type de question classique sur ce modèle consiste à demander si une propriété $\phi$ — par exemple, « le graphe contient un triangle » ou « le graphe est connexe » — est satisfaite ou non à la limite ; ou de manière plus générale, quelle est la limite de la probabilité que $G(n,p)$ vérifie $\phi$ ? En prenant du recul, on peut se demander, si, quand $\phi$ est une propriété « naturelle » (dans un sens que l’on précisera), cette limite existe toujours et si elle peut prendre n’importe quelle valeur (ou par exemple seulement 0 ou 1). Ceci amène à la notion de loi de convergence (si la limite existe toujours) ou de loi de 0/1 (si la limite vaut toujours 0 ou 1).

Je présenterai quelques résultats de ce type (pour G(n,p) et pour un modèle d’arbres aléatoires), et essayerai d’expliquer les idées derrière, venant de la théorie des modèles finis (en particulier le jeu combinatoire d’Ehrenfeucht-Fraïssé), de l’algorithmique (techniques de réduction en complexité) et de la combinatoire analytique (universalité des singularités en racine dans les modèles d’arbres).

(Basé sur le livre « Strange logic of random graphs », Spencer, 2001, et l’article de Woods « Colouring Rules for Finite Trees and Probabilities of Monadic Second Order Sentences », 1997).
Ce groupe de travail s’articule sur deux séances : celle ci est la première partie.

Attention: changement d’horaire: horaire du seminaire. Une visio sera mise en place.
The growth-fragmentation equation is a well-known model for modelling the dynamics of a size-structured
bacterial population. In this presentation, we will focus on a non-linear version of this equation with a
diffusion term and coupled to the dynamics of a resource. This new model describes the growth of a
bacterial population in a continuous medium, and structured according to the expression of a protein
involved in the individual metabolism. We will establish the existence of the solution by showing that
this model can be seen as the large population limit of a stochastic individual-based model. We will
then show the uniqueness of this solution and some qualitative results thanks to the properties of the
semi-group of the stochastic process that describes the protein expression of a typical individual in the
population.

L’orateur est invité BIGS.

L’indépendance est peut-être le concept le plus central de toute la théorie des probabilités. Or, dans nombre de situations (à la fois modélisatoires et théoriques), l’indépendance entre certaines variables aléatoires ou tribus n’est pas réalisée parfaitement, mais seulement approximativement ou asymptotiquement… C’est donc un enjeu tout à fait naturel que de chercher un moyen d’évaluer quantitativement le niveau de dépendance entre deux v. a., afin de donner un sens précis à l’idée qu’elles soient “presque indépendantes”. Plus exactement, dans cet exposé nous présenterons différentes manière de quantifier la dépendance entre deux (sous-)tribus sur un même espace probabilisé.

Nous verrons qu’il peut exister différentes définitions naturelles pour quantifier la dépendance, non équivalentes les unes aux autres, mais ayant chacune des propriétés intéressantes. Nous verrons aussi comment, dans les contextes où il s’agit de tensoriser des résultats pour monter en dimension, le coefficient de ρ-mélange se distingue de ses concurrents. J’en profiterai pour présenter au passage deux résultat de mon cru autour du ρ-mélange.

Dans cet exposé on s’intéressera à la construction de métriques Riemanniennes aléatoires sur les surfaces compactes, qui interviennent en théorie conforme des champs de Liouville. On étudiera la construction rigoureuse de la mesure de Liouville en suivant des travaux de Guillarmou-Kupiainen-Rhodes-Vargas, puis on s’intéressera à des EDPS préservant cette mesure.

Ce groupe de travail est une introduction au séminaire de Probabilités et Statistique qui aura lieu juste après le groupe de travail.

Les modèles d’appariements aléatoires représentent de nombreux systèmes stochastiques concrets dans lesquels des éléments de différentes classes sont appariés selon des règles de compatibilités spécifiées. Par exemple, on peut citer les systèmes dédiés à l’allocation d’organes, les sites de recherche d’emplois, de logements, etc. De tels modèles sont toujours associés à un triptyque d’éléments : un graphe connexe, dit de compatibilités, dont les sommets représentent les classes des éléments pouvant entrer dans le système et dont chaque arête relie deux classes compatibles, une politique d’appariements permettant de décider, en cas d’incertitude, quels appariements vont s’effectuer à l’intérieur du système, et un taux d’arrivées selon lequel les éléments entrent en son sein. Dans cet exposé, nous considérerons des graphes généralisés, c’est-à-dire que l’on autorisera l’appariement de deux éléments de la même classe, et nous étendrons donc à ce cadre certains résultats déjà connus dans le cas de graphes simples.

La stabilité d’un système régi par un modèle d’appariements est une propriété très importante. En effet, elle assure que les admissions au sein du système étudié sont contrôlées de sorte que les éléments ne restent pas bloqués à l’intérieur et que leur nombre n’augmente pas indéfiniment. Il est donc essentiel que le taux d’arrivées des éléments permette au système d’être stable. Dans cet exposé, nous caractériserons de manière algébrique cette zone de stabilité pour certains modèles d’appariements (généraux, généraux avec abandons, bipartis, bipartis étendus) ou de files d’attente, dites skill-based.

Par ailleurs, nous montrerons que la politique d’appariements dite First Come, First Matched (FCFM) possède la propriété d’être maximale (généralisée), c’est-à-dire que la zone de stabilité du modèle d’appariements général associé à un graphe de compatibilités et à une politique quelconque est toujours incluse dans celle associée à ce même graphe et à FCFM. Notons que cette dernière coïncide alors avec un ensemble de mesures défini par des conditions purement algébriques. Dans ce cas, la question de l’étude des mesures permettant la stabilité des systèmes régis par un modèle d’appariements revient donc à celle, plus élémentaire, de la caractérisation d’un ensemble déterministe. Nous donnerons alors un moyen de construction (simple) des mesures appartenant à celui-ci, ce qui peut s’avérer très utile pour calibrer le contrôle d’accès au système. En effet, la vérification algorithmique qu’une mesure quelconque vérifie ces conditions algébriques nécessite un nombre d’opérations polynomial en le nombre de sommets du graphe, et devient donc très coûteuse à mesure que ce cardinal augmente.

Nous expliciterons également, sous une forme produit, l’expression de la loi stationnaire de l’évolution temporelle du contenu d’un système stable régi par un modèle d’appariements général et sous la politique FCFM, permettant, notamment, de calculer explicitement des caractéristiques à l’équilibre de systèmes concrets et d’estimer leurs performances en temps long. On peut ainsi, par exemple, calculer la taille moyenne à l’équilibre d’une liste d’attente dans le cadre de dons croisés de reins, ou encore, estimer le temps moyen d’attente sur une interface pair-à-pair ou un site de rencontres.

Enfin, les taux d’appariements associés à un modèle d’appariements (général ou biparti étendu) stable seront étudiés. Ils sont définis comme étant les fréquences asymptotiques des appariements réalisés et fournissent un critère de performance des systèmes régis par de tels modèles d’appariements, de même que les propriétés de politique-insensibilité et d’équité de ces taux, qui seront également discutées.

Suite de la semaine précédente:
Dans cet exposé nous donnons des définitions des primitives et dérivées fractionnaires.
Plusieurs résultats seront enoncées et démontrés, en particulier sur l’intégration par parties et les équations différentielles fractionnaires.
Enfin nous présenterons quelques applications en probabilités.

Les deux premiers esposés de l’année nous aurons le plaisir d’écouter Renaud sur Primitives et dérivées fractionnaires : quelques résultats et applications. Suit le résumé que Renaud nous a transmis.
Dans cet exposé nous donnons des définitions des primitives et dérivées fractionnaires.
Plusieurs résultats seront enoncées et démontrés, en particulier sur l’intégration par
parties et les équations différentielles fractionnaires.
Enfin nous présenterons quelques
applications en probabilités.

On considère un algorithme probabiliste suivi par des fourmis cherchant un plus court chemin entre leurs nids et une source de nourriture. À chaque étape une fourmi suit une marche aléatoire, dont les transitions dépendent des phéromones déposés par les fourmis précédentes, de son nid jusqu’à la source de nourriture. Nous verrons que le renforcement (i.e. le choix des arêtes sur lesquelles une fourmi dépose des phéromones) influe sur le comportement du processus, qui dans un certain nombre de cas converge : intuitivement, les fourmis coopèrent pour trouver des plus courts chemins. Je parlerai de différents résultats de convergence, en particulier pour une variante du modèle sur laquelle j’ai travaillé, dans laquelle le nid de départ est également aléatoire.

Nous l’avons tous appris en licence : il n’est pas possible d’étendre la mesure de Lebesgue à toutes les parties de [0, 1] d’une façon qui en conserve les propriétés satisfaisantes ! Il y a même pire : même en retirant la notion de « propriétés satisfaisantes », on ne peut construire aucune mesure de probabilité sur 𝔓([0, 1]) qui étende la mesure de Lebesgue (théorème d’Ulam) ; et sur 𝔓(ℝ3), il n’existe aucune extension finiment additive de la mesure de Lebesgue qui serait invariante par isométrie (paradoxe de Banach-Tarski)… D’autres points sont moins paradoxaux, mais presque aussi frustrants : pourquoi ne peut-on pas définir le support d’une mesure comme « la plus petite partie de mesure pleine » ? Pourquoi n’est-il pas possible de couper ℝ en deux parties parfaitement symétriques (comme on couperait une ficelle avec une lame) autrement qu’« à ensemble négligeable près » ?…

Il s’avère que tous ces problèmes disparaissent lorsque, au lieu de raisonner en termes de parties de ℝd, on raisonne plutôt en termes de lieux. Un « lieu » peut représenter une partie de ℝd quelconque, mais aussi des choses plus exotiques, comme par exemple le voisinage de l’infini ou le germe d’un cône ouvert : il s’agit simplement d’une autre façon d’appréhender la topologie, façon parfois qualifiée de « topologie sans points » : en effet, dans cette approche, il est possible de ne contenir aucun point sans être vide pour autant ! La théorie des lieux, développée initialement pour des raisons n’ayant rien à voir avec les questions de mesurabilité, se trouve néanmoins être parfaitement adaptée à celles-ci, et y résout nombre de paradoxes. Le point central est que la notion d’« être disjoints » au sens des lieux s’avère plus restrictive que la notion usuelle d’« ensembles disjoints » : or, toutes les constructions paradoxales de la théorie de la mesure reposent sur des ensembles dont la disjonction est “pathologique”, ce que la théorie des lieux permet de mettre en valeur !

Dans cet exposé, j’essaierai d’expliquer toutes ces choses, que j’ai découvertes récemment.