La géométrie algébrique fait intervenir des domaines mathématiques très différents. Au cœur de la discipline se situent les variétés à fibré canonique trivial. Aussi connues comme variétés K-triviales, elles possèdent une géométrie extrêmement riche et continuent de fasciner les géomètres algébristes et complexes. Des chercheurs français et allemands collaborent ensemble pour étudier ces variétés dans le cadre du projet Franco-Allemand POK0 – Positivity on K-trivial varieties – financé par l’ANR et la Deutsche Forschungsgemeinschaft, son homologue Allemand.
Le domaine a connu des progrès récents à la fois dans la théorie des variétés K-triviales, comme par exemple, la généralisation au cadre singulier du théorème de décomposition de Beauville-Bogomolov, mais aussi dans des directions de recherche proches qui ont été appliquées avec succès à l’étude des variétés K-triviales.
L’objectif de ce projet est d’exploiter ces percées et d’appliquer les techniques les plus avancées pour étudier plusieurs questions fondamentales concernant les variétés K-triviales. Il s’agit de vérifier dans ce contexte des conjectures générales qui guident l’étude des variétés algébriques.
Le projet étudiera les problèmes de positivité sur les variétés K-triviales sous différents aspects :
- l’étude des systèmes linéaires sur les variétés K-triviales et leurs propriétés : leurs lieux de base, des problèmes de type conjecture de l’abondance, des problèmes de type conjecture de Fujita
- les syzygies des variétés K-triviales : la conjecture de Mukai, les caractérisations géométriques de la propriété (N_p)
- la conjecture du cône de Morrison–Kawamata et ses applications aux modèles minimaux
- l’étude détaillée des corps de Newton-Okounkov sur les variétés K-triviales et leurs applications.
Pour réaliser cet objectif, le projet réunit une équipe de 9 mathématiciennes et mathématiciens de 7 universités aux compétences variées et complémentaires et s’appuie sur des collaborations ayant déjà fait leurs preuves. Il vise également à créer des conditions favorables pour faire émerger de nouvelles collaborations et renforcer la coopération entre l’Allemagne et la France. Un doctorant et cinq post-doctorants sont prévus pour mener à bien ce projet d’une durée de 3 ans qui a débuté au 1er avril 2024.
Gianluca Pacienza, Professeur à l’Université de Lorraine au sein de l’Institut Élie Cartan de Lorraine (IECL) coordonne la partie française du projet et Christian Lehn de la Ruhr-Universität Bochum du côté Allemand. Ils travaillent en collaboration étroite depuis 10 ans maintenant et ont déjà co-rédigé 5 articles ensemble. Ce projet s’inscrit dans la continuité de leurs recherches communes.
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