The lecture addresses time‑dependent convection–diffusion problems with high Péclet number in thin 3D graph‑like networks of curvilinear cylinders connected by nodes of diameter $\mathcal{O}(\varepsilon).$ Inhomogeneous Robin boundary conditions with different intensity factors are imposed on the network boundary. As $\varepsilon \rightarrow 0,$ the network collapses to a graph and the diffusion terms vanish.

Such problems pose singular‑perturbation challenges that standard methods often cannot resolve. I present a systematic asymptotic framework for $\varepsilon \rightarrow 0,$ combining regular expansions on edges with node‑layer and boundary‑layer asymptotics to capture the multiscale flow structure. The analysis justifies reduced graph models, quantifies higher‑order corrections, and uncovers new phenomena in singular regimes.

Le succès de la chimiothérapie dépend à la fois de la stratégie d’administration du médicament et de sa capacité à éliminer les cellules cancéreuses tout en préservant autant que possible les tissus sains. Dans cette présentation, nous nous intéresserons à un problème de contrôle optimal avec des contraintes d’état appliqué à la chimiothérapie des tumeurs invasives, où la dose de médicament agit comme variable de contrôle. Étant donné que le traitement affecte à la fois les cellules tumorales et les tissus sains, l’objectif du
problème de contrôle est de réduire la densité tumorale en contrôlant la dose du médicament. Pour ce faire, nous modélisons l’action thérapeutique à l’aide d’une équation de réaction-diffusion non linéaire décrivant l’évolution d’une tumeur invasive sous traitement. Nous commençons par analyser mathématiquement le problème initial de valeur limite. Nous formulons ensuite le problème de contrôle optimal sous contraintes et en déduisons les conditions nécessaires à l’optimalité. Enfin, à l’aide de simulations numériques en 2D pour un cas de cancer du sein, nous illustrons l’importance des contraintes d’état dans les stratégies de traitement optimales, avant de conclure par quelques perspectives

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé à venir

Applying an asymptotic method, we will establish the existence of the minimal solution to some variational elliptic inequalities defined on bounded or unbounded domains. The minimal solution is obtained as limit of solutions to some classical variational inequalities defined on domains becoming unbounded when some parameter tends to infinity (joint work with S. Guesmia and S. Harkat)

This talk summarizes joint works by the speaker and Anne-Sophie BonnetBen Dhia, Lucas Chesnel, Camille Carvalho and Juan-Pablo Borthagaray on how to solve problems with discontinuous, sign-changing coefficients. In electromagnetic theory, the effective response of specifically designed materials is modeled by strictly negative coefficients: these are the so-called negative materials. Transmission problems with discontinuous, sign-changing coefficients then occur in the presence of negative materials surrounded by classical materials. For general geometries, establishing Fredholmness of these transmission problems is well-understood thanks to the T-coercivity approach [2]. Let $sigma$ be a parameter that is strictly positive in some part of the computational domain, and strictly negative elsewhere. We focus on the scalar source problem: find $u$ such that $mathrm{div}sigma nabla u – omega^2 u = f $ plus boundary condition, where $f$ is some data and $omega$ is the pulsation. Denoting by $sigma^+$ the strictly positive value, and by $sigma^-$ the strictly negative value, one can prove that there exists a critical interval $I_sigma$, such that the scalar source problem is well-posed in the Fredholm sense if, and only, if, the ratio $sigma^-/sigma^+$ lies outside the critical interval [2]. One may derive similar results for the related eigenvalue problem [4]. The shape of the interface separating the two materials must be taken into account to solve the problems numerically. For a plane interface, there exist meshing rules that guarantee an optimal convergence rate for the finite element approximation. We propose a new treatment at the corners of the interface which allows to design meshing rules for an arbitrary polygonal interface and then recover standard error estimates. This treatment relies on the use of simple geometrical transforms to define the meshes. Numerical results illustrate the importance of this new design [5, 1]. In a last part (time permitting), we discuss the extension of those results to nonlocal problems with discontinuous, sign-changing coefficients [3]. References : [1] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, C. Carvalho, P. Ciarlet Jr., Mesh requirements for the finite element approximation of problems with sign-changing coefficients, Numer. Math. (To appear). [2] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., T-coercivity for scalar interface problems between dielectrics and metamaterials, Math. Mod. Num. Anal., 46 (2012), pp. 1363–1387. [3] J.P. Borthagaray, P. Ciarlet Jr., Nonlocal models for interface problems between dielectrics and metamaterials, Proceedings of the Metamaterials’2017 Conference, Marseille, France, IEEE (To appear). [4] C. Carvalho, L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., Eigenvalue problems with signchanging coefficients, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 355 (2017), pp. 671– 675. [5] L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., T-coercivity and continuous Galerkin methods: application to transmission problems with sign changing coefficients, Numer. Math., 124 (2013), pp. 1–29.

Les différences finies compactes, introduites par Lothar Collatz dès 1951 produisent des schémas d’ordre élevé utiles dans certains domaines de la physique : mécanique des fluides, acoustique, chimie ab initio etc. Le calcul des coefficients de ces méthodes se fait grâce aux formules de Taylor mais peut aussi faire appel aux Approximants de Padé ou aux polynômes symétriques. Ces schémas appliqués à  l’équation de Poisson et associés à  des algorithmes multigrilles comptent parmi les meilleurs solveurs d’équations elliptiques.

On étudie une inéquation variationnelle parabolique décrivant la dynamique d’un microsystème électromécanique (MEMS) et résultant de la prise en compte de l’hétérogénéité diélectrique du dispositif. J’esquisserai tout d’abord la provenance du modèle étudié puis décrirai les résultats obtenus pour les problèmes stationnaire et d’évolution. Travaux en commun avec Christoph Walker (Hannover).

Dans cet exposé je souhaite présenter un résultat d’existence de solutions fortes, locales en temps, pour un système fluide-structure avec conditions de bord mixtes. Le fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes incompressibles en dimension 2 dans un domaine de type rectangulaire. La partie supérieure du domaine est une membrane dont le déplacement satisfait une équation d’Euler-Bernoulli amortie. Le résultat est donné sans aucunes hypothèses de petitesse sur les données initiales. Je conclurai en évoquant l’existence de solutions périodiques en temps pour ce système.

In this talk we will discuss rational quadrature rules in a general framework. Rather than focusing on theoretical aspects, we will discuss their advantages and disadvantages for practical use compared to classical (polynomial) quadrature rules, and deal with questions like “how to chose the poles” and “when to chose rational quadrature rules over polynomial quadrature rules”. We conclude with presenting some existing algorithms to compute the nodes and weights in certain types of rational quadrature rules.

When several stable states coexist, propagation phenomena are often observed in many fields including dissipative situations. To characterize the universal profiles of these phenomena, traveling wave solutions and entire solutions play important roles. Here traveling wave solution is meant by a solution of a partial differential equation that propagates with a constant speed, while it maintains its shape in space, and an entire solution is a solution defined for all space and time variables. In this talk we focus on the Allen-Cahn-Nagumo equation, which is a single reaction diffusion equation with bistable nonlinearity and explain how to construct entire solutions and the relation between traveling wave solutions and entire solutions.

On s’intéresse à  divers types de solutions de l’équation -Δφ = exp(-φ) : solutions infinies sur le bord du domaine, ou définies dans un domaine non-borné… en présence de singularités. Ces solutions interviennent dans l’étude de l’équilibre électrostatique d’un plasma au voisinage d’une pointe conductrice.

On preuve que les fonctions spéciales à  déformation bornée avec peu de saut sont proches dans le sens de l’énergie à  des fonctions qui sont régulières dans un domaine plus petit. Cela permet de généraliser l’inégalité de monotonie de De Giorgi, Carriero et Leaci au contexte linéarisé en dimension n et d’établir la fermeture de l’ensemble de saut pour les minimiseurs de l’énergie de Griffith.

Dans cet exposé, on discutera différents aspects de l’opérateur de Dirac en dimension trois, couplé à  un potentiel singulier supporté sur une surface. Après avoir motivé l’étude de tels objets, on s’intéressera brièvement au problème d’auto-adjonction pour des potentiels singuliers de type électrostatique ou de type scalaire de Lorentz. Pour cette dernière classe de potentiels, on étudiera la structure du spectre d’un tel opérateur et en particulier, on montrera que lorsque la masse de la particule tend vers l’infini, dans le cas d’un potentiel attractif, les valeurs propres se comportent au premier ordre comme les valeurs propres d’un opérateur effectif sur la surface. On verra que cet opérateur effectif est en fait un opérateur de Schrödinger avec champ de Yang-Mills couplé à  un potentiel électrique, le champ et le potentiel étant tous deux de nature géométrique. Il s’agit de travaux en collaboration avec Markus Holzmann, Konstantin Pankrashkin et Luis Vega. [1.] A strategy for self-adjointness of Dirac operators: applications to the MIT bag model and delta-shell interactions, with Luis Vega, 30p., to appear in Publicacions Matemà tiques, arXiv:1612.07058, 2016. [2.] Dirac operators with Lorentz scalar shell interactions, with Markus Holzmann and Konstantin Pankrashkin, 41 p., submitted, arXiv:1711.00746, 2017.