Depuis une dizaine d’années, l’étude d’EDP stochastiques dites singulières a grandement évolué avec les avancées majeures des structures de régularité et du calcul paracontrôlé. Dans cet exposé, je vais présenter des résultats sur l’équation de Schrödinger non-linéaire en présence d’un bruit blanc espace multiplicatif dans un cadre périodique ou non borné.

La reconstruction des paramètres électriques (permittivité et conductivité) des tissus biologiques du corps humain est un sujet important dans le domaine de l’imagerie médicale car ces paramètres contiennent des informations sur d’éventuelles pathologies. Ils contribuent également au calcul fiable du taux d’absorption spécifique (SAR) nécessaire pour garantir le respect des normes de sécurité des appareils d’IRM.

Dans cet exposé, nous formulons la reconstruction des propriétés électriques comme un problème inverse pour lequel nous donnerons un résultat d’identifiabilité. Nous présentons ensuite une méthode CSI “Contrast Source Inversion” basée sur une discrétisation par éléments finis pour la résolution numérique dans des configurations académiques et réaliste.

Résumé à venir

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On présentera le modèle et on donnera des exemples où le retard déstabilise complètement le système même pour des petits retards. On donnera aussi des résultats de stabilisation exponentielle sous une condition analogue à la condition de contrôle géométrique dans le contexte des variétés sans bord. Ce résultat repose sur une étude pour sur les petites fréquences, dans ce cas on supposera le retard petit et une étude à hautes fréquences.

Plateau’s problem is a notorious problem in Calculus of Variations and Geometric Measure Theory. In this presentation, I will introduce a phase-field approximation of Plateau’s problem, based on the coupling of the Ambrosio–Tortorelli energy with a geodesic distance penalization, which encodes the topological constraints. I will then justify this approach through a Γ-convergence result towards a formulation of Plateau’s problem in codimension one, and analyze the functional by establishing existence and regularity results for minimizers. From an analytical perspective, I will also present an analysis of the limit problem and provide a characterization of quasi-minimizers in terms of John domains. Finally, this approach is implemented in a numerical framework to approximate solutions of Plateau’s problem in various configurations, illustrating the efficiency and flexibility of the proposed model.

Anisotropic Calderon’s inverse problem asks if the data given by voltage-to-current measurements on the boundary of a conducting domain can be used to uniquely determine the anisotropic conductivity in the interior of the domain. Geometric reformulated, this problem becomes: given a compact Riemannian manifold (M, g) with boundary, does the full knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map (corresponding to the metric Laplacian -\Delta_g) determine the Riemannian metric g up to isometries fixing the boundary? In this talk, I will explain a positive answer at high frequencies, that is we will show that the D-t-N map of -\Delta_g – \lambda^2 for \lambda large enough determines the lens data, i.e. the exit points and directions of incoming geodesics (scattering data), together with travel times; under favourable geometric assumptions, this is known to determine g up to isometries. Joint work with S. Sahoo and G. Uhlmann.

Les équations classiques de l’hydrodynamique (Euler, Navier-Stokes) sont non-locales à travers le terme de pression. Des modèles simplifiés comme l’équation de Burgers se focalisent sur un champ scalaire pour enlever les contraintes géométriques. Nous présentons ici une variante non-locale des équations de Burgers, dont les instabilités sont liées au signe local de la solution, avec des résultats obtenus en collaboration avec R. Shvydkoy, C. Imbert, J. Tan, R. Anton et K. Verdure.

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We study scattering by obstacles and we consider the scattering kernel $s(t, \theta, \omega)$ which is the Fourier transform of the scattering amplitude. First, we prove the Poisson relation which says that the singularities of scattering kernel with respect to t are included in the set of sojourn times of generalised rays incoming with direction ω and outgoing with direction $\theta$. Second, we establish that for almost all directions $(\omega, \theta)$ the Poisson relation becomes an equality. Thus the sojourn times are observables and they can be considered as scattering data. The situation has similarity with the Poisson relation concerning the singularities of $\sum_j \cos(\lambda_j t)$, where $\lambda^2_j$ are the eigenvalues of the Dirichlet Laplacian $-\Delta$ in bounded domains. We will discuss different inverse scattering problems related to the set of sojourn times. In particular, for a large class of obstacles the knowledge of the sojourn times for almost all directions determines uniquely the form of the obstacle.

The results are obtained in joint works with L. Stoyanov.