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Attention : horaires inhabituels, le séminaire aura lieu de 10h45 à 12h15 (une séance d’une heure et demie) et sera précédé d’une pause café-gâteau de 10h15 à 10h45

L’édition 2025 des Journées EDP de l’IECL aura lieu du mercredi 2 avril vers 14h au vendredi 4 avril vers 12h30.

Cette conférence aura lieu à Metz, à l’UFR MIM, campus du Technopole.

D’autres informations seront disponibles sur le page web de la conférence, accessible en cliquant sur ce lien.

L’exposé se fera en visio-conférence.

Résumé : On présente quelques résultats autour du
comportement asymptotique
d’opérateurs de convolution itérés (en une dimension d’espace). Ce
problème intervient à la
fois dans l’étude en temps grand des schémas aux différences finies pour
les équations
d’évolution ainsi que dans l’étude en temps grand des marches
aléatoires. Le but est d’obtenir
une généralisation du théorème dit de la limite locale en théorie des
probabilités, et de montrer
des bornes gaussiennes généralisées dans le cas “stable” des schémas
numériques stables pour
la norme du maximum. Il s’agit d’un travail en collaboration avec
Grégory Faye.

Introduite par Balogh et Krstic dans le début des années 2000 pour les EDP, la méthode du Backstepping consiste à construire une loi de rétroaction stabilisant exponentiellement rapidement l’EDP considérée en cherchant l’existence d’une transformation liant l’EDP à stabiliser à une EDP cible exponentiellement stable. Si cette transformation est inversible, alors la stabilité de l’EDP à stabiliser est assurée. Inspirée de la dimension finie, cette transformation a d’abord été recherchée sous la forme d’une transformation de Volterra. L’inversibilité étant garantie, les propriétés d’existence et de régularité reposent sur une EDP non standard sur le noyau de la transformation. Cette approche s’est avérée très efficace, donnant lieu à une très vaste littérature, bien qu’il n’existe pas à ce jour de théorie permettant d’expliquer l’existence d’une telle transformation.

Plus récemment, Coron et Lü ont proposé la recherche d’une transformation de Fredholm pour la méthode du Backstepping. Bien que plus technique, cette alternative s’est rapidement distinguée par son approche systématique. Dans ce groupe de travail, nous présenterons des travaux récents dans lesquels nous avons identifiés pour la première fois des conditions suffisantes (spectrales et de contrôlabilité) menant à l’existence d’une transformation de Fredholm pour le Backstepping dans un cadre abstrait très général. En plus de ces critères, nous présenterons également des estimations explicites sur la norme de la transformation, ainsi que de son inverse, par rapport au paramètre de décroissance exponentielle, menant en particulier à la stabilisation en temps fini.

Il s’agit de travaux en collaboration avec Amaury Hayat, Swann Marx, Shengquan Xiang et Christophe Zhang.

In this presentation, we investigate and establish the existence of bounded solutions to some classes of impulsive evolution equations with nonlocal conditions under some suitable assumptions. Possible applications to this problem include Burgers equation and the Benjamin-Bona-Mohany equation with impulses and nonlocal conditions.

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Dans cet exposé, on s’intéressera à la construction de mesures de type Gibbs associées au Hamiltonien de l’équation de Schrödinger en présence d’un potentiel confinant et d’une non-linéarité focalisante. La construction de telles mesures a été initiée vers les années 70 dans le cadre de la théorie quantique des champs Euclidienne. On revisitera une construction classique due à Lebowitz-Rose-Speer dans le cas d’un domaine spatial borné et en l’absence de potentiel, ainsi que le phénomène de transition de phase qui a lieu dans ce cas. On expliquera ensuite des résultats obtenus avec Kihoon Seong (Institut Max Planck), Leonardo Tolomeo (Université d’Édimbourg) et Yuzhao Wang (Université de Birmingham) sur le cas d’un domaine infini en présence d’un potentiel harmonique, et l’absence de transition de phase dans ce cas.