Nous considérons l’équation de Schrödinger non linéaire défocalisante (les solutions sont globales), et examinons la continuité par rapport à la puissance, dans différents espaces fonctionnels. Un cas limite correspond à la convergence vers l’équation de Schrödinger logarithmique, et demande une étude fine de certaines équations différentielles, ainsi qu’un passage en formulation fluide.

L’exposé est basé sur un travail en commun avec Quentin Chauleur et Guillaume Ferriere.

Dans cet exposé, je présenterai une approche mathématique des tiges courbes minces dans le cadre de l’élasticité linéaire. Je montrerai que tout déplacement d’une tige
courbe est la somme d’un déplacement de Bernoulli-Navier et de déplacements résiduels (avec cisaillement et gauchissement dans la décomposition la plus complète). Je donnerai des estimations des termes de cette décomposition par rapport à $\delta$ (l’épaisseur de la tige) et la norme $L^2$ du tenseur des déformations. Je terminerai par l’étude du comportement asymptotique d’une tige courbe soumise à une charge très particulière dans le cadre de l’élasticité linéaire.

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Energie fondamentale du Laplacien magnétique dans des ouverts à  coins

L’opérateur de Laplace magnétique s’écrit
$$
(-ihnabla+A)^2
$$
o๠$A$ est un potentiel magnétique et $h$ un paramètre destiné à  tendre vers 0. Cet opérateur est complété par les conditions de Neumann sur le bord du domaine. Le domaine est supposé appartenir à  une certaine classe géenérale d’ouverts à  coins. Cette classe contient en particulier les polyèdres, les domaines coniques et les domaines réguliers.

Le comportement de la première valeur propre de l’opérateur magnétique quand $hto0$ est gouverné par une hiérarchie de problèmes modèles posés sur les cones tangents au domaine. Nous explorons les propriétés de ces problèmes modèles en dimension 3 d’espace (continuité, semi-continuité, existence de fonctions propres gén’eralisées). Nous démontrons des formules asymptotiques avec reste pour la première valeur propre magnétique en fonction de $h$.

Les bornes inférieures sont obtenues à  l’aide d’une partition IMS à  deux échelles, alors que les bornes supérieures sont établies grâce à  une nouvelle construction de quasimodes qualifiés d’assis (sitting) ou glissants (sliding) selon les propriétés spectrales des problèmes modèles.

Exposé basé sur l’article en commun avec Virginie Bonnaillie-Noà«l et Nicolas Popoff,
“Ground state energy of the magnetic Laplacian on general three-dimensional corner domains”, disponible sur arXiv, http://fr.arxiv.org/abs/1403.7043

Dans cette exposé je vais présenter des résultats concernant les problèmes de Gel’fand-Calderon et de conductivité inverse (problème de Calderon). Il s’agit de deux problèmes inverses de valeurs au bord avec différents applications, notamment dans le domaine médicale, géophysique et dans la tomographie océanique. Le problème de Calderon consiste à  déterminer une conductivité électrique dans un domaine à  partir de l’opérateur tension-à -courant (Dirichlet-to-Neumann) au bord. Dans le problème de Gel’fand-Calderon la quantité à  reconstruire est un potentiel dans l’équation de Schrodinger, étant donné l’opérateur Dirichlet-to-Neumann associé à  énergie fixée. Je vais présenter le premier résultat de stabilité globale en dimension deux pour le problème de Gel’fand-Calderon scalaire et multi-canal (matriciel). Ensuite je vais parler d’un algorithme de reconstruction stable et rapidement convergent pour le même problème dans le cas 2D multi-canal, avec applications à  l’étude du problème en 3D . Comme derniers résultats je vais montrer des nouvelles estimations de stabilité globale pour les deux problèmes qui dépendent explicitement de la régularité et de l’énergie. J’expliquerai notamment comment la stabilité augment à  hautes énergies.

In a planar infinite strip with a fast oscillating boundary we consider an elliptic operator assuming that both the period and the amplitude of the oscillations are small. On the oscillating boundary we impose Dirichlet, Neumann or Robin boundary condition. In all cases we describe the homogenized operator, establish the uniform resolvent convergence of the perturbed resolvent to the homogenized one, and prove the estimates for the rate of convergence. These results are obtained as the order of the amplitude of the oscillations is less, equal or greater than that of the period. It is shown that under the homogenization the type of the boundary condition can change.

Résumé

Dans cet exposé, on rappelle le problème de la tomographie et sa résolution par des méthodes de type inversion de la transformée de Radon. En particulier, la célèbre méthode de Feldkamp, Davis et Kress (FDK) est présentée. Puis, nous interprétons l’usage de cette méthode en imagerie laser 3D, avec résultats numériques sur des données industrielles à  l’appui.

In this talk, starting from the paper of R. Brizzi et J.P. Chalot on problems in domains with strongly oscillating boundaries, I shall recall the contribution with D. Blanchard on this subject and I shall present recent results obtained with O. Guibé.

A domain with strongly oscillating boundary is a domain whose boundary
presents numerous asperities. The asperities have fixed height, a size
depending on a small parameter $varepsilon$ and $varepsilon$-periodic
structure.

Boundary-value problems in such a domain arise in many fields of biology,
physics and engineering sciences. It is often impossible to approach these
problems directly with numerical methods, because the rough boundary
requires a large number of mesh points in its neighborhood. Thus, the
computational cost associated to such a problem grows rapidly when
$varepsilon$ gets smaller. Moreover, it can occur that the required
discretization step becomes too small for the machine precision. Then, the
goal is to replace the problem, when the periodicity $varepsilon$ gets
smaller, with a model in a “more regular” domain $Omega$ which can be
numerically solved.

On étudie l’existence de solutions de certains problèmes faisant intervenir l’exposant critique de Sobolev et avec un poids. On étudie également la multiplicité des solutions du problème dans le cas o๠l’ensemble des minima du poids admet plusieurs composantes connexes. On s’intéresse aussi au cas o๠cet ensemble possède une seule composante connexe et une topologie complexe.

Dans cet exposé je présenterai différents résultats concernant l’existence (ou la non-existence) de valeurs propres discrètes pour le Laplacien défini sur un domaine tubulaire donné à  partir d’un guide droit déformé par torsion le long son axe longitudinal.