Nous considérons l’équation de Schrödinger non linéaire défocalisante (les solutions sont globales), et examinons la continuité par rapport à la puissance, dans différents espaces fonctionnels. Un cas limite correspond à la convergence vers l’équation de Schrödinger logarithmique, et demande une étude fine de certaines équations différentielles, ainsi qu’un passage en formulation fluide.

L’exposé est basé sur un travail en commun avec Quentin Chauleur et Guillaume Ferriere.

Dans cet exposé, je présenterai une approche mathématique des tiges courbes minces dans le cadre de l’élasticité linéaire. Je montrerai que tout déplacement d’une tige
courbe est la somme d’un déplacement de Bernoulli-Navier et de déplacements résiduels (avec cisaillement et gauchissement dans la décomposition la plus complète). Je donnerai des estimations des termes de cette décomposition par rapport à $\delta$ (l’épaisseur de la tige) et la norme $L^2$ du tenseur des déformations. Je terminerai par l’étude du comportement asymptotique d’une tige courbe soumise à une charge très particulière dans le cadre de l’élasticité linéaire.

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Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche de l’utilisation de conditions aux limites transparentes pour l’équation de Schrödinger et l’équation des ondes linéaires. L’idée est de pouvoir les rendre locales en considérant une inconnue auxiliaire qui sera calculée sur tout le domaine et liée à  la solution de l’équation initiale par un couplage linéaire et local sur le bord. On présentera des résultats numériques en dimensions 1 et 2, sur des demi-espaces et des quarts de plan, la difficulté de ce dernier cas étant la présence d’une singularité géométrique.

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Je décrirai des résultats récents sur des versions nonlocales d’une conjecture célèbre de De Giorgi sur la régularité des ensembles de niveau de solutions d’équations elliptiques. Dans un premier temps, on s’intéresse au laplacien fractionnaire puis je décrirai le cas d’opérateurs plus généraux pour lesquels une extension a la Caffarelli-Silvestre n’est pas disponible. 

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Nous présenterons un code de calcul robuste, efficace et avec un excellent passage à  l’échelle : G.P.S. (Gross-Pitaevskii Solver). GPS est un code qui peut aussi bien calculer des solutions stationnaire ou dépendantes du temps à  l’équation Gross-Pitaevskii, et permet ainsi d’étudier soit les condensats de Bose-Einstein (BEC), ou bien de la “turbulence superfluide” par exemple, ces phénomènes étant parmi les plus étudiés de la physique quantique. Afin d’obtenir des solutions les plus précises possibles, nous utilisons des schémas quasi spectraux pour la discrétisation des opérateurs différentiels. Dans le but de pouvoir utiliser aussi bien la machine de bureau la plus simple, que le supercalculateur le plus puissant du monde, nous avons implémenté deux schémas de communication MPI, ainsi qu’une programmation hybride à  l’aide de la librairie OpenMP. L’addition de schémas de très haute précision et la possibilité de pouvoir utiliser un raffinement de maillage très fin (jusqu’à  2048^3), nous permet de pouvoir reproduire des résultats expérimentaux avec une précision très satisfaisante.

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Partant du XIXè problème de Hilbert sur l’analyticité des minimiseurs de fonctionnelles convexes, je présenterai des résultats de classification des solutions de l’équation de Lane-Emden, posée sur une bande ou sur un cône.

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