Résumé

Dans cet exposé je présenterai un modèle de dynamique des populations piloté par capacité biotique. La capacité biotique $f=rho-m$, qui est essentiellement la différence entre la densité d’espèce $rho(t,x)$ et la quantitié de ressources disponibles $m(x)$, intervient comme un terme de reproduction logistique, mais affecte également la dispersion de l’espèce qui se déplace vers l’environnement le plus favorable possible ($f>0$). Le modèle a été introduit et étudié mathématiquement par [Cosner et Winkler], et consiste en un problème parabolique dégénéré. Dans une série de travaux récents, nous avons montré avec S. Kondratyev et D. Vorotnikov (Univ. Coimbra, Portugal) que le modèle peut s’écrire comme un flot gradient dans l’espace des mesures, muni d’une nouvelle distance de transport optimal non conservatif. Ce point de vue revisité permet d’établir un nouveau résultat de convergence en temps long, dont la preuve est basée sur des techniques d’entropie/dissipation-entropie particulièrement adaptées au cadre variationnel et en lien avec une nouvelle famille d’inégalités fonctionnelles. Si le temps le permet je présenterai une extension au cas vectoriel.

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En théorie des champs relativiste, un problème essentiel est de séparer les solutions de l’équation de Klein-Gordon en celles qui propagent avec fréquences positives et celles a fréquences négatives, dans le sens précis d’une condition sur leur front d’onde. Sur des espace-temps asymptotiquement statiques, il existe une construction bien connue (par théorie de diffusion) qui donne une décomposition canonique, mais jusqu’à  présent le problème de vérifier la condition sur le front d’onde, dite “de Hadamard”, restait ouvert. Le but de cet expose seront des démontrer cette conjecture dans le cas à  longue portée en utilisant un mélange de théorie de diffusion et de calcul pseudo-différentiel. Je vais aussi expliquer comment dans ce cadre est-il possible de définir des conditions asymptotiques pour lesquelles l’opérateur de Klein-Gordon devient un opérateur de Fredholm vérifiant des propriétés étonnamment similaires au cas elliptique (travail en collaboration avec Christian Gérard).

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Durant ce séminaire nous considérerons une famille d’opérateurs de Schrödinger étant formellement homogènes sous le groupe des dilatations. Une fois mieux définis la majorité de ces opérateurs perdent cette propriété. Nous étudierons alors les propriétés spectrales de ces opérateurs, qui ne sont généralement pas auto-adjoints et proposerons certaines formules pour la théorie de la diffusion. Cette étude est intimement liée aux fonctions de Bessel, et certaines de leurs relations peuvent être réinterprétées dans le cadre de l’étude de ces opérateurs.

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