Séminaires

Dans cet exposé, je présenterai une méthode de Pickl et Knwoles pour la dérivation en champ moyen quantique des équations de type Hartree. Je montrerai comment cette méthode peut être utilisée pour obtenir une limite en champ moyen quantique dans le cas où l’hamiltonien à une particule dépend d’un paramètre, localement uniformément en ce paramètre. Pour cela, je présenterai un formalisme abstrait dans lequel on suppose peu d’informations sur le terme d’interaction et l’hamiltonien à une particule. En particulier, on n’utilise aucune méthode dispersive avancée de type Strichartz dans l’étude de l’équation limite. Enfin, j’expliquerai comment l’opérateur d’Anderson-Hermite, i.e. l’opérateur de Schrödinger avec un potentiel confinant quadratique et un potentiel bruit blanc en espace, s’inscrit naturellement dans ce formalisme, permettant d’intervertir limite en bruit et limite en champ moyen.

During this seminar, we shall introduce an age-structured mathematical model with time-dependent parameters developed for investigating the dynamics of dengue transmission. Formulas for the basic reproduction number and the time-varying effective reproduction number will be presented. We shall then apply this model to Brazil and use weekly time series data from this country. Various medical parameters will be evaluated from these data, and an extensive numerical simulations for the period 2021 – 2024 will be presented. Finally, model predictions for the following year by using different transmission rates will be introduced. The importance of an age-structured population and climate variability will be emphasized.

This presentation is based on a joint work with Ihtisham Ul Haq (Nagoya University).

Nous étudions une équation de type Hardy–Sobolev critique sur une variété riemannienne compacte à bord, en présence d’une singularité localisée sur le bord. L’analyse repose sur des développements asymptotiques fins de la métrique en coordonnées adaptées et sur des fonctions tests concentrées au voisinage du point singulier. Elle met en évidence une interaction entre la dimension de la variété, la géométrie locale du bord et la perturbation du problème, dans l’obtention de critères d’existence de solutions. Le cas limite où la courbure moyenne au point singulier s’annule soulève alors une question plus délicate : les effets géométriques intrinsèques peuvent-ils encore intervenir dans le phénomène de compacité ?

A problem in electrostatic in the context of homogenization is studied. Assuming that each phase is made of a material with constant conductivity, we show that an approach based on boundary integral operators associated to the interfaces between the phases can be used. An introduction to such operators in the context of periodic conditions is presented. The problem is then showed to be equivalent to a boundary integral equation involving the so-called Neumann-Poincaré operator. As a consequence, its spectral properties can be used in order to derive an explicit modal expansion formula for the solution to the problem. The approach will be compared with the one involving the so-called Lippmann-Schwinger operator which is more systematically used in this context. In addition, the eigenpairs involved in the expansion are explored numerically and their links with those of the Lippmann-Schwinger operator are discussed.

Nous considérons des équations paraboliques linéaires unidimensionnelles et fortement dégénérées, avec des coefficients mesurables pouvant être dégénérés ou singuliers. En prenant 0 comme point de forte dégénérescence, nous supposons que le coefficient a=a(x) dans la partie principale de l’équation parabolique est tel que la fonction x→x/a(x) appartient à L^p(0,1) pour un certain p>1. Après avoir établi des estimations spectrales pour le problème elliptique correspondant, nous prouvons en utilisant la méthode de la platitude que l’équation parabolique est contrôlable à zéro dans l’espace d’énergie à l’aide d’un contrôle frontière. Il s’agit d’un travail fait en collaboration avec Antoine Benoit et Romain Loyer.

La reconstruction des paramètres électriques (permittivité et conductivité) des tissus biologiques du corps humain est un sujet important dans le domaine de l’imagerie médicale car ces paramètres contiennent des informations sur d’éventuelles pathologies. Ils contribuent également au calcul fiable du taux d’absorption spécifique (SAR) nécessaire pour garantir le respect des normes de sécurité des appareils d’IRM.

Dans cet exposé, nous formulons la reconstruction des propriétés électriques comme un problème inverse pour lequel nous donnerons un résultat d’identifiabilité. Nous présentons ensuite une méthode CSI « Contrast Source Inversion » basée sur une discrétisation par éléments finis pour la résolution numérique dans des configurations académiques et réaliste.

Depuis une dizaine d’années, l’étude d’EDP stochastiques dites singulières a grandement évolué avec les avancées majeures des structures de régularité et du calcul paracontrôlé. Dans cet exposé, je vais présenter des résultats sur l’équation de Schrödinger non-linéaire en présence d’un bruit blanc espace multiplicatif dans un cadre périodique ou non borné.