La journée en l’honneur de Georges Rhin aura lieu le vendredi 7 mars. Plus de détails ici.

L’édition 2025 des Journées EDP de l’IECL aura lieu du mercredi 2 avril vers 14h au vendredi 4 avril vers 12h30.

Cette conférence aura lieu à Metz, à l’UFR MIM, campus du Technopole.

D’autres informations seront disponibles sur le page web de la conférence, accessible en cliquant sur ce lien.

We consider the magnetic Laplacian on non compact Riemannian manifolds which have ends of infinite volume, including for example asymptotically conical or hyperbolic manifolds. We will show how we can obtain uniform estimates for the boundary values of the resolvent of this operator in the case of high frequencies. These estimates hold in spaces with optimal weights and imply boundedness of the limiting resolvent in $L^2$ spaces with weights decaying faster than the inverse square root. In particular in this talk we will show how we can generalize a work by Cardoso and Vodev (’02) when adding perturbations of order one and zero and considering optimal weights. We will also focus on the aspects of the proof which are frequency independent.

L’exposé se veut une introduction à l’une des frontières actuelles de notre compréhension de la stabilité non linéaire des ondes progressives des équations aux dérivées partielles, spécifiquement comment la stabilité spectrale implique la stabilité non linéaire pour les ondes progressives générales des systèmes hyperboliques.

Les principaux obstacles à une théorie générale trouvent leur origine dans le fait que les profils des ondes comprennent typiquement des discontinuités et/ou des points caractéristiques, tous deux ayant un fort impact même au niveau spectral.

L’exposé montrera quelques avancées significatives vers une théorie générale obtenues par l’orateur dans une série de travaux en collaborations (disjointes) avec Vincent Duchêne (Rennes), Paul Blochas (Rennes), Louis Garénaux (Karlsruhe) et Grégory Faye (Toulouse).

Dans cette thèse, on s’intéresse à des modèles de théorie quantique des champs décrivant les interactions entre une particule non relativiste et un champ de radiation quantifié. En particulier, on s’intéresse à la minimisation de l’énergie quasi-classique des modèles considérés, c’est-à-dire l’énergie du système lorsque le champ se trouve dans un état cohérent. Un premier résultat concerne le modèle spin-boson, c’est un modèle simple (mais non trivial) où la particule non relativiste est décrite par un système de dimension finie et est couplée linéairement à un champ quantifié scalaire. On obtient pour ce modèle une expression explicite de l’énergie fondamentale quasi-classique et de l’ensemble des minimiseurs, pour toute valeur de la constante de couplage. On montre également que l’ensemble des minimiseurs est trivial si la constante de couplage est inférieure à une valeur critique. D’autre part, on obtient l’existence d’un état fondamental pour l’énergie lorsque le champ se trouve dans une superposition de deux états cohérents. On considère ensuite des modèles pour lesquels la particule non relativiste est décrite par un opérateur de Schrödinger. Dans le cas où le couplage entre la particule et le champ est linéaire en les opérateurs de création et d’annihilation (modèle de Nelson, modèle du Polaron), on montre l’existence et l’unicité d’un état fondamental quasi-classique associé à l’énergie quasi-classique, à symétrie de phase près. On suppose le potentiel extérieur confinant ou liant et nous n’imposons pas de troncature ultraviolette dans la définition de la fonctionnelle d’énergie. Nous obtenons ensuite un développement asymptotique de l’énergie fondamentale quasi-classique lorsque le paramètre de couplage tend vers 0. Enfin, en faisant dépendre l’énergie du paramètre ultra-violet, on montre que les états fondamentaux, ainsi que les énergies fondamentales associées convergent dans la limite ultraviolette. Dans le cas du modèle standard de l’électrodynamique quantique non relativiste, sous des hypothèses similaires, on montre l’existence d’un état fondamental quasi-classique. Nous obtenons aussi un développement asymptotique lorsque le paramètre de couplage tend vers 0 et la convergence dans la limite ultraviolette de l’énergie fondamentale.

Nous allons discuter des méthodes pour construire des mesures invariantes pour l’équation de Benjamin-Ono et le rôle joué par l’intégrabilité de cette équation dans ces constructions.

We consider an intestinal crypt model including microbiota-derived regulations. The simplified model considers a coupled system of 2 degenerate parabolic equations with cross diffusion whose unknowns are the density of progenitor cells (pc) and stem cells (sc). Additionally, the density of deep crypt secretory (DCS) cells acts as a function that we can assume to be known and that is known to affect the population dynamics in the crypt. The inverse problem consists in determining the parameters that define the shape of the density function of the DCS cells (slopes and position), from partial measurements of stem and progenitor cells. For this, we propose a classical method of adjoint state.

The general intestinal crypt model (considering 4 cell types) was introduced by Beatrice Laroche from INRAE, France, and her PhD student Marie Haghebaert who has used BGK schemes to successfully simulate the dynamics of the phenomenon.

Le système point-vortex décrit la dynamique de tourbillons idéaux dans un fluide 2D incompressible et non visqueux. Lorsqu’une collision de points-vortex se produit, la dynamique devient singulière et le temps de vie maximal des solutions est atteint. Nous discuterons de ce phénomène en montrant en particulier que les trajectoires des points-vortex sont 1/2-Hölderiennes jusqu’au temps de collision. Nous verrons également comment ce résultat s’étend en présence d’un bord, ainsi que dans le contexte des fluides quasi-géostrophiques. Nous mentionnerons également un résultat d’improbabilité des collisions, ainsi que le problème ouvert de l’existence de collisions au bord d’un domaine.

In this talk, I present some recent results on generalised norm resolvent convergence: Weidmann proposed such a concept by embedding everything in a common Hilbert space and consider convergence there. Another concept is to use so-called identification operators close to unitary operators. This is a joint work with Sebastian Zimmer (Uni Trier).